Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

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forme de la solution (2.28), nous constatons que l'effet de H2 est généré par un signal du type (Ùg=W1 + (1)2. Cette méthode de test d'harmoniques peut être répété autant de fois qu'il est nécessaire pour déterminer des fonctions de réponse en fréquence d'ordre supérieur. Les séries de Volterra sont l'extension fonctionnelle du développement en série de Taylor. Elles présentent d'ailleurs les mêmes exigences de convergence et de régularité quant à leur mise en oeuvre. De nombreux chercheurs ont étudiés les conditions d'application, d'unicité et de convergence de la théorie de Volterra. En général, l'hypothèse de base suppose que le système étudié est faiblement non-linéaire et régulier mais il n'existe pas de résultat général permettant d'affirmer qu'il existe toujours une série de Volterra. Gifford et Tomlinson [26] affirment qu'un système doit nécessairement être invariant au cours du temps et avoir au moins un point d'équilibre pour qu'il admette une représentation en série de Volterra dans le voisinage de ce point. Dans le cas du rotor non-linéaire, les nonlinéarités interviennent uniquement sous une forme polynomiale et de ce fait, l'existence et l'unicité de la représentation en série de Volterra sont assurés. 11.3.2 MISE EN OEUVRE DE LA METHODE DE VOLTERRA Dans les équations du mouvement du rotor présentées dans le chapitre I, nous ne retiendrons que le troisième mode de battement, le second mode de traînée et le mode de torsion qui sont susceptibles de se coupler pour une fréquence de rotation du rotor égale à 4 Hz - vitesse de fonctionnement nominale -. En outre, nous ne conserverons que les termes prépondérants de l'aérodynamique - termes en K cos( t) - ce qui revient à négliger l'amortissement aérodynamique et les termes non-linéaires aérodynamiques. Sous ces hypothèses, le système d'équations qui modélise le comportement du rotor est: /b3 qb3 + Pb3 (w13 - Q2 sin2 0ü qb3 /42 qt2 + I1t2 (w?2 -Q2cos200)qt2 = - V23 O qt - 2 V23 O (t2 - Q cosOo O + )b33 02 b3 + N Kb3 Q2 cos(Q t) = V23 0q + 2v23 0q -Qßt2 sinO0 O 't22 qt2 + N K2 Q2 cos(Qt) . 2 'rot (22 q + b33 q3) + 2 ê(22 qt2 qt2 + b33 qb3 + GJ O = V23 (q2 - qh3 qt2 + Q(ßt2 Stfl 0 qt2 + ßb3 cosO0 qb3) (2.29) Nous appliquons alors un changement de variables ayant pour objet de rendre le système (2.29) sans dimension. Nous poserons donc t = t. Le système (2.29) s'écrit donc: Chapitre 2 : Analyse non-linéaire 90
qb3 + qb3 + mb Cb = maoqt2-2mbaOqt2+mbm Ò2qb3+fbcos(T) qt2 + £ qt2 + mt Ct O = mt a 2 mt a Oq + mtyt O2qt2+ftcos() = a (4t2 qb3 - qb3 qt2) + Ct qt2 + Cb qb3 Les paramètres sans dimension qui interviennent dans le système (2.30) sont récapitulés dans le tableau ci-dessous. Nous avons indiqué en outre leurs valeurs nominales c'est à dire la valeur de ces coefficients pour la configuration du rotor tournant à 4 Hz et avec un angle de pas statique de 100. PARAMETRES EXRESSION ANALYTIQUE Tableau 11.1: Coefficients adimensionnels pour l'étude du couplage Battement 3 - Traînée 2 - Torsion VALEUR NOMINALE Lb ,/(32Sin2OO 5,00 ç2 Ci)?2 ç2 cos2Oo 6,17 ç2 I CT 3,49 a ct mb mt Yt 'V 'rot V23 'rot 0,0357 13b3 cos 0,2482 'rot 1t2Sin0O 0,1951 'rot 8,275 Amt 1b3 4,610 tt2 b33 0,0385 'rot 0,1083 'rot N Kb3 3,521 .Lb3 N Kt2 f = 8,742 = 2,48 fb tt2 (2.30) A partir du système d'équations (2.30), nous allons mettre en oeuvre la méthode des séries de Volterra. Nous allons identifier les noyaux d'ordre i et d'ordre 2 à Chapitre 2 Analyse non-linéaire 91
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N° d'ordre 94 - 53 MEMOIRE DE THES
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ECOLE CENTRALE DE LYON Directeur: E
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Machines Thermiques Photocatalyse M
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RESUME Le développement croissant
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111.3 Etude numérique du couplage
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INTRODUCTION Les vibrations sur un
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La stabilité d'un rotor et plus g
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linéaire. La méthode de la forme
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1.2 MODELISATION NUMERIQUE DU ROTOR
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accélérations aux articulations (
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Soit (O, XD, D, ZD) le trièdre li
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Il faut remarquer que du point de v
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La figure 111.7 montre que l'amorti
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Ces modes ne décrivent en aucun ca
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A partir du torseur en tête rotor
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Afin de compléter l'étude de ce c
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Soit M un point courant de la pale
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modes devient plus difficile et les
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O 2Qii O O O bQvi O -2Qt1 O O O -bQ
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U. LEISS, 1984,' A consistent mathe
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Le terme Fb2 se calcule en intégra
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