Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

forme de la solution (2.28), nous constatons que l'effet de H2 est généré par un signal du
type (Ùg=W1 + (1)2.
Cette méthode de test d'harmoniques peut être répété autant de fois qu'il est
nécessaire pour déterminer des fonctions de réponse en fréquence d'ordre supérieur.
Les séries de Volterra sont l'extension fonctionnelle du développement en série
de Taylor. Elles présentent d'ailleurs les mêmes exigences de convergence et de régularité
quant à leur mise en oeuvre. De nombreux chercheurs ont étudiés les conditions
d'application, d'unicité et de convergence de la théorie de Volterra. En général, l'hypothèse
de base suppose que le système étudié est faiblement non-linéaire et régulier mais il n'existe
pas de résultat général permettant d'affirmer qu'il existe toujours une série de Volterra.
Gifford et Tomlinson [26] affirment qu'un système doit nécessairement être invariant au
cours du temps et avoir au moins un point d'équilibre pour qu'il admette une représentation
en série de Volterra dans le voisinage de ce point. Dans le cas du rotor non-linéaire, les nonlinéarités
interviennent uniquement sous une forme polynomiale et de ce fait, l'existence et
l'unicité de la représentation en série de Volterra sont assurés.
11.3.2 MISE EN OEUVRE DE LA METHODE DE VOLTERRA
Dans les équations du mouvement du rotor présentées dans le chapitre I, nous
ne retiendrons que le troisième mode de battement, le second mode de traînée et le mode de
torsion qui sont susceptibles de se coupler pour une fréquence de rotation du rotor égale à 4
Hz - vitesse de fonctionnement nominale -. En outre, nous ne conserverons que les termes
prépondérants de l'aérodynamique - termes en K cos( t) - ce qui revient à négliger
l'amortissement aérodynamique et les termes non-linéaires aérodynamiques. Sous ces
hypothèses, le système d'équations qui modélise le comportement du rotor est:
/b3 qb3 + Pb3 (w13 - Q2 sin2 0ü qb3
/42 qt2 + I1t2 (w?2 -Q2cos200)qt2
= - V23 O qt - 2 V23 O (t2 - Q cosOo O + )b33 02 b3 + N Kb3 Q2 cos(Q t)
= V23 0q + 2v23 0q -Qßt2 sinO0 O 't22 qt2 + N K2 Q2 cos(Qt)
. 2
'rot (22 q + b33 q3) + 2 ê(22 qt2 qt2 + b33 qb3 + GJ O
= V23 (q2 - qh3 qt2 + Q(ßt2 Stfl 0 qt2 + ßb3 cosO0 qb3)
(2.29)
Nous appliquons alors un changement de variables ayant pour objet de rendre
le système (2.29) sans dimension. Nous poserons donc t = t. Le système (2.29) s'écrit
donc:
Chapitre 2 : Analyse non-linéaire 90