Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

mc+ky+dy2=x(t)
(2.24)
Nous choisissons alors une force d'excitation harmonique x(t) = X e io)t et
nous cherchons la réponse y(t) sous la forme y(t) = Hi(w) X e io)t En reportant dans
l'équation (2.23) et en identifiant les termes en e io)t, il vient:
H1(ct4
i
k - m w2 + i C Û)
H1 est la fonction de réponse en fréquence du premier ordre du système qui
est aussi la fonction de réponse en fréquence linéaire classique.
Pour calculer la fonction de réponse en fréquence du second ordre, nous
imposons cette fois une excitation de la forme x(t) = X e iCOlt + X e iQ)2t Cela revient à
superposer deux excitations purement harmoniques à des fréquences différentes et
arbitraires w1 et w2. La réponse doit alors être cherchée sous la forme donnée par l'équation
(2.22) c'est à dire:
y(t)
= J
+ J
hi()(ei)1(t+ e(t))dT
h('r1 r2) (eH»1 (t )+e"»2 (tri)) (e (tr2)+eiW2 (tr2))dt1d
(2.26)
En appliquant une transformée de Fourier à deux dimensions sur la forme
précédente, nous pouvons exprimer la forme de la réponse en fonction des fonctions de
réponse en fréquence d'ordre i et 2 - H1 et H2 -:
y(t) = Hi(wi)e1t + Hi(w2)e02t
+ H2(w1,w1)e2 iw1t + H2(o.2,w2)e2 jco2t + 2 H2(wi,w2)ei()1 +
Chapitre 2 : Analyse non-linéaire
(2.25)
(2.27)
Le but est d'identifier le terme H2(wl, w2). Il suffit alors de reporter la forme
de la solution (2.27) dans l'équation (2.24) et de retenir uniquement les termes en e' (wi + 2) t
qui sont les seuls à faire intervenir le noyau d'ordre 2: H2(wl, w2). Il vient finalement:
H2(w1 co) = - d H1(coi) H1(a) Hi(wi + w2) (2.28)
H2 est la fonction de réponse en fréquence du second ordre. Cette fonction est
symétrique et seule une étude sur les domaines ( coi > O, w > O ) et (co1 > O , w