Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

Soit un système S non-linéaire et invariant au cours du temps soumis à une
excitation x(t) ; pour une large classe de systèmes, la réponse y(t) s'écrit sous la forme:
y(t)=
f
+ h2(Ti,'r2)x (t - ri)x(t - T2) dr1 dT2
±1±'
11
x (t - TI) x (t - T2) x (t - T3) d'r1 d'r2 dr3
fhn(Ti,T, ... ,) x (t - TI) x (t - T2)... x (t - Tn) dT1 dT2... dr
L'équation (2.22) est la représentation en série de Volterra. Les termes hi(ti),
h2(t1 , t), ... / h(c1 / t2, ... , t) sont les noyaux de Volterra du premier ordre, du second
ordre, du nième ordre. Pour un système linéaire, seul le noyau du premier ordre est non-nul. Il
est possible de montrer à partir de l'équation (2.22) que le noyau d'ordre n décrit les nonlinéarités
polynomiales d'ordre n.
A partir de la représentation en série de Volterra, la fonction de réponse en
fréquence généralisée du nième ordre apparaît naturellement comme la transformée de Fourier
généralisée de dimension n du noyau de Volterra du nième ordre.
I-I(wi, ..., = TF,(/l1(T1, .. (2.23)
Il faut cependant remarquer que les FRF peuvent être définies
indépendamment de la représentation en série de Volterra. Par exemple, elle peut être
définie, dans le cas où l'excitation est composée uniquement de deux harmoniques, comme
étant le rapport entre la composante spectrale à la somme des deux harmoniques et le
produit des valeurs spectrales pour chacune des harmoniques.
La méthode la plus couramment utilisée pour identifier les fonctions de
réponse en fréquence consiste à décomposer l'excitation du système en harmoniques. Nous
allons développer cette méthode sur l'exemple simple d'un oscillateur à un degré de liberté
possédant une non-linéarité quadratique:
Chapitre 2 : Analyse non-linéaire 88
(2.22)