Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

11.3 LES SERIES FONCTIONNELLES DE VOLTERRA
Les séries fonctionnelles ont été introduites à l'origine par Volterra en 1880 et
sont utilisées en tant qu' outil de détection et d'interprétation des phénomènes non-linéaires.
Leurs applications permettent une représentation entrée-sortie d'un système faiblement nonlinéaire
et fournissent donc un modèle explicite où la réponse est une fonction analytique de
l'entrée. Bien que nous ne l'utffiserons ici que dans un cadre analytique, la théorie de Volterra
est directement applicable dans un cadre expérimental. L'analyse spectrale des noyaux de
Volterra s'applique aussi bien sur les noyaux d'ordre 2 - qui décrivent les non-linéarités
quadratiques - que sur ceux d'ordre plus élevé. Nous nous bornerons ici à l'étude des noyaux
d'ordre 2 qui correspondent au premier terme non-linéaire de la série de Volterra. Ce noyau
présente l'avantage de fournir une représentation graphique tri-dimensionnelle contenant
toutes les informations relatives aux non-linéarités quadratiques. L'analyse de noyaux
d'ordre supérieur aurait nécessité de fixer certaines variables afin de rendre possible une
représentation graphique, ce qui complique notablement l'interprétation. De plus, la prise en
compte de noyaux d'ordre supérieurs conduit à une augmentation significative des temps de
calcul nécessaires surtout dans le cas multi-dimensionnel que nous allons étudier.
Dans cette section, nous allons d'abord présenter les fondements théoriques
nécessaires pour délimiter le cadre d'utilisation de la représentation en série de Volterra.
Ensuite, nous appliquerons cette méthode d'analyse aux équations du rotor pour identifier la
participation des non-linéarités à la dynamique du système. Enfin, afin d'évaluer
l'approximation due à la troncature de la série de Volterra à l'ordre 2, nous calculerons le
signal temporel générés par les deux premiers noyaux. Nous comparerons ce signal à la
solution obtenue par résolution des équations du mouvement à l'aide d'une méthode de
Runge-Kutta.
11.3.1 FONDEMENTS THEORIOUES
L'utilisation des séries de Volterra est une méthode performante pour analyser
des systèmes non-linéaires dans le domaine fréquentiel car elle permet de calculer des
fonctions de réponse en fréquence - FRF - non-linéaires. En effet, les noyaux de Volterra
peuvent être transposés dans le domaine fréquentiel et nous obtenons alors une fonction de
transfert généralisée associée à un type de non-linéarités. La théorie de Volterra ouvre donc
la voie à l'identification modale d'une structure non-linéaire.
Chapitre 2 : Analyse non-linéaire
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