Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

Le fait d'utiliser cette approximation conduit à un résidu 8(t) dans l'équation
de Lagrange et l'équation (2.14) devient:
pt2
5J=
ti
N
s(t)VIk(t)Sakdt=O
k=i
fti
t2
Puisque les variations ak sont indépendantes, il vient:
e(t) Ip'k(t) = 0 (2.16)
L'équation (2.16) constitue un système de N équations algébriques qui permet
de déterminer les coefficients qui interviennent dans la solution approchée. Si nous imposons
de plus que la solution approchée soit périodique de période T alors les fonctions 'Vk(t)
doivent être périodiques de période T et le système (2.16) s'écrit:
Jo
e(t) k(t) = O (2.17)
Pour appliquer l'approximation de Ritz, il est important de choisir
convenablement les fonctions N'k La seule condition mathématique requise est que ces
fonctions soient linéairement indépendantes et qu'elles fassent partie d'une base de l'espace.
L'efficacité de la méthode dépend uniquement de ce choix mais il n'existe pas de règle
générale pour le processus de sélection. Cependant, dans le cas où l'équation non-linéaire
(2.11) est excitée par une force extérieure f cos(w t), il suffit de choisir I'k = cos(k co t) et 14'k
= sin(k co t). L'approximation d'ordre 1 fournie par la méthode de Ritz est donc:
q(t)= acos ( cot 0)
ç2Jr/w
(t) cos ( co t) dt = O et J
f
Jo Jo
E(t) sin ( co t) dt = O
(2.18)
Pour évaluer les corrections apportées à la solution linéaire par la méthode de
Ritz-Galerkin - c'est à dire calculer a et - , il suffit d'appliquer les équations (2.18); ii vient
alors en posant N' = co t + 0:
Chapitre 2 Analyse non-linéaire 80
(2.15)