Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

2,r
Ida0)of a2sin3d=O
2,r
2it
dØ w01
a2sjn2 cos d= O
c'est à dire que nécessairement a et 4 sont des constantes. Par conséquent la
première approximation de Krylov - Bogoliubov est la même que la solution linéaire. Cela
signifie que l'effet de cette non-linéarité ne se voit que sur les approximations d'ordre plus
élevé de la solution.
La recherche d'une solution périodique y = a cos( wo t + 4) de l'équation nonlinéaire
(2.1) impose la condition supplémentaire = O . La seconde équation du système
(2.5) donne le terme correctif à apporter à la pulsation w0 qui devient w = wo + d/dt
Finalement, les conditions à respecter s'écrivent:
ç2Jr
JF[acos o
dt 2irawo
Ví,-aoxJ sin iprj sin gdyí=O
F [a cos ,-aw sin ]cos dtA(w a)
La seconde condition du système (2.7) peut être exprimée sous une autre
forme en utilisant le fait que la correction apportée sur l'amplitude est faible à cause du
terme ji.
(2.6)
(2.7)
w2=(wo+2_w&+2wILA(wo,a) (2.8)
dt)
w2 -
IL
ira
o
2,r
Dans le cas où nous supposons que l'équation non-linéaire initiale est excitée
par une force purement harmonique à la pulsation w, nous cherchons alors une solution
périodique sous la forme y(t) = a cos( w t + 4 ) où a et sont les inconnues scalaires.
L'application de la méthode de la moyenne harmonique conduit aux équations suivantes, en
supposant un développement limité du premier ordre en ji. Ces équations, obtenues en
posant ljJ(t) = w t + , permettent de déterminer a et .
Chapitre 2 : Analyse non-linéaire 78
(2.9)