Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

Pour t = O, l'équation (2.1) est linéaire et la solution peut s'écrire sous la forme
y=acos(wot+ø)
où a et 4) sont des constantes.
Par suite, nous avons également:
dt
wo sin( w0t+ Ø)
Pour ji O mais suffisamment petit, nous pouvons supposer que l'équation
non-linéaire (2.1) possède une solution de la forme (2.2) et dont la dérivée est de la forme
(2.3) pourvu que a et 4) soient des fonctions du temps au lieu d'être des constantes. Ces
approximations nous amènent à résoudre un système d'équations différentielles en a(t) et
4)(t) qui s'écrit:
(da = - _i_ F [a(t) cos ig(t) , - a(t) wo sin VI(t)] sin ig(t)
(DQ
\dØ
F[a(t) cos ig(t) , - a(t) wo sin Vf(t)] cos «t)
lj7w0a(t)
où ijI(t) = wo t +
(2.2)
(2.3)
Il est alors possible de développer F sin iji et F cos í en série de Fourier . La
première approximation de Krylov et Bogoliubov consiste à ne retenir que le premier terme
du développement en série de Fourier. Une première approximation de la solution de
l'équation non-linéaire (2.1) est donc y(t) = a(t) cos( wo t + 4)(t) ) où a(t) et 4)(t) vérifient:
,LL
=
dt 2,rwo
= -
dt 2,rawo
J
2V
F [a cos ií, - a wo sin sin ig dig
2,r
F [a cos ig, - a wo sin ig] cos ig d
La méthode de Krylov - Bogoliubov ne permet pas de décrire les non-linéarités
quadratiques. Pour s'en convaincre, reprenons l'équation non-linéaire (2.1) où nous
supposerons que les non-linéarités sont de la forme F - (dy/dt)2. Les conditions à
respecter - système (2.5) - deviennent:
Chapitre 2 : Analyse non-linéaire
(2.4)
(2.5)
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