Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

proportionnels à un paramètre j.t (ji « 1). Dans ce cas, nous pourrons négliger les termes
d'ordre élevés en ji lors de la construction de la solution approchée. Par exemple, la solution
de première approximation ne va inclure que les termes en ji. Dans cette catégorie de
méthodes, se trouve la technique de moyenne harmonique / la technique des coefficients
variant lentement dans le temps ( méthode de Krylov - Bogoliubov ), la méthode
asymptotique et des méthodes nombreuses et variées de perturbations ( par exemple la
méthode de Poincaré-Lindstedt et la méthode des échelles multiples).
- les méthodes qui nécessitent une hypothèse a priori sur la forme de la
solution approchée comme fonction du temps. La forme supposée comprend des coefficients
à déterminer et impose certaines conditions sur les résidus dans les équations du
mouvement. Ces conditions peuvent être des conditions de minimisation comme dans la
méthode de Ritz ou peuvent être justifiées par des arguments d'orthogonalité - méthode de
Galerkin -. Ji faut noter que ces techniques ne nécessitent pas de supposer que les termes
non-linéaires sont petits.
Les travaux menés par Szemplinska-Stupnicka [77] , [78] ont permis de
montrer que les résultats fournis par ces deux types de méthodes sont très proches et même
identiques pour une large classe de problèmes. Nous allons étudier ici les deux méthodes les
plus classiques: d'une part la méthode de la moyenne harmonique et d'autre part la méthode
de Ritz - Galerkin sur des systèmes à un seul degré de liberté. Nous appliquerons ensuite la
méthode de Ritz - Galerkin au système d'équations qui régit le comportement du rotor afin
de mettre en évidence les accrochages de modes non-linéaires.
11.2.1 METHODE DE LA MOYENNE HARMONIOUE
Cette méthode a été développée à l'origine par Krylov et Bogoliubov [46] puis
étendue et justifiée mathématiquement par Bogoliubov et Mitropolsky [11]. L'intérêt de cette
méthode est qu'elle permet de déterminer les mouvements périodiques ainsi que le processus
transitoire correspondant à des perturbations de ces oscillations. Une technique assez
proche de celle-ci est celle de Van der Pol - publiée en 1926 - qui a proposé une méthode
d'analyse de coefficients variant lentement pour l'évaluation de certains phénomènes nonlinéaires
dans les tubes à électrons.
de la forme:
Le problème est de trouver une solution approchée de l'équation différentielle
dy úy=pF(y,) O