Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

Dans la suite de cette étude, l'analyse concernera uniquement les deux degré
de liberté couplés. Les résultats de la simulation sont présentés sur la figure 1.16 ci-dessous.
Nous avons représenté uniquement les transformées de Fourier associées au troisième mode
de battement et au mode de torsion puisque ce sont les seuls modes modifiés par
l'introduction de la non-linéarité choisie. En effet, les équations du mouvement données par
le système (1.46) montrent que les modes de battement 1 et 2 ainsi que les modes de traînée
1 et 2 ne "voient" pas la non-linéarité résultant du couplage battement 3 - torsion.
E
10
8 10
io_2_
l0 -
Transforme. de Fourier - Battnent 3
10 20 30 40 50 60
Frequenze (Hz)
10
Fta
10 20
Transforrnee de Fourier - Torsicu,
Figure 1.16: Réponses en fréquence pour un couplage non-linéaire
entre le battement 3 et la torsion
30
Frequenze (Hz)
40 50 60
La transformée de Fourier associée au troisième mode de battement fait
apparaître trois pics. Le pic situé à 20 Hz est la composante linéaire ; les deux pics
secondaires - notés a et b - représentent des synchronisations avec le mode de torsion. En
effet, l'équation qui régit la coordonnée associée au battement 3 contient une non-linéarité
polynomiale de la forme b3 02 . Cette non-linéarité crée des synchronisations avec le mode
de torsion à des fréquences correspondant à a = 2 wo - Wb3 et à fb 2 0)0+ b3 . Sachant
que la résonance linéaire en torsion se situe à 14 Hz dans les conditions de la simulation,
nous avons a = 8 Hz et fb = 48 Hz. Ce sont bien les deux pics secondaires observés sur la
transformée de Fourier du troisième mode de battement.
Dans l'équation en torsion, les termes générés par la non-linéarité sont
également sous une forme polynomiale qb32 0. Ii va donc apparaître deux pics secondaires
= 2 cb3 - wo = 26 Hz et fb = 2 (b3 + w = 54 Hz. C'est effectivement ce que montre la
transformée de Fourier associée à la coordonnée de torsion.
s 2 Fb3- Fto
b"2 Fb3 o Ft,
Afin de poursuivre létude des phénomènes non-linéaires et de se rapprocher
des résultats de la figure 1.9 qui montre qu'il existe un couplage possible entre les modes de
Chapitre 1: Modélisation du rotor
-2Fio.-Po9
b d Ftor-Fb
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