Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

L'allure de la tranformée de Fourier est complètement différente de celle
obtenue dans le cas où il n'y avait pas d'aérodynamique. Ici, il n'apparaît que les
harmoniques de la fréquence de rotation du rotor: ce sont les raies à 4 Hz, 8 Hz, 12 Hz.....
Ce résultat est tout à fait conforme à ce qui était attendu puisque nous avons vu que
l'aérodynamique contient une composante harmonique pure en cos( t). Nous sommes donc
dans la situation d'une excitation forcé en avec cependant d'autres termes d'excitations
aérodynamiques comme nous l'avons établi précédemment. Les modes de pale qui avaient
été observés en l'absence d'aérodynamique sont décomposés sur les harmoniques du rotor.
En ce sens, le rotor observé en axes fixes agit comme un "projecteur". Les modes propres de
pale ont disparus en tant que tels mais ils interviennent dans la répartition sur les
harmoniques. La transformée de Fourier associée au second mode de traînée montre une
prépondérance de la seconde harmonique du rotor mais les harmoniques 4 et 6 ne sont pas
négligeables. Nous pouvons d'ailleurs constater l'influence de ces harmoniques d'ordre
supérieur sur la figure représentant l'évolution temporelle ; elle se traduit par une allure très
perturbée. De plus, l'amplitude des oscillations est plus importante que dans le cas où
l'aérodynamique n'est pas prise en compte.
Le portrait des phases montre la présence d'un cycle limite. Ce cycle limite
n'est pas un cercle car il est déformé par la présence des harmoniques 4 et 6. La section de
Poincaré est obtenue en tracant l'intersection de la trajectoire dans l'espace des phases avec
des plans parallèles au plan (qi q) et espacés d'une distance Tr correspondant à la
période de rotation du rotor - c'est aussi la période du terme d'excitation forcé -. L'ensemble
de points obtenu est ensuite reporté sur le plan (qj / qb3) situé à t = O. La section de
Poincaré se réduit à un seul point ce qui prouve la présence d'un attracteurpériodique.
Quelles que soient les conditions initiales choisies pour l'intégration
temporelle, le cycle limite est le même ce qui permet de vérifier le caractère linéaire du
système. La figure 1.12 met ce phénomène en évidence. Nous avons représenté l'évolution
temporelle de la coordonnée généralisée associée au second mode de traînée pour deux
conditions initiales différentes. Dans le premier cas les conditions initiales sont q(0) = O
E
q'(0) = O I alors que dans le second cas elles sont [q(0)=l ; q'(0) = 1]
Chapitre 1: Modélisation du rotor
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