Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

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1.4 ETUDE DU COMPORTEMENT LINEAIRE DU ROTOR Afin d'appliquer les développements précédents, nous allons réaliser une simulation qui prend en compte les deux premiers modes de traînée et les trois premiers modes de battement. Nous choisirons les caractéristiques modales suivantes: MODE FREQUENCE FORME Ti 4,4 Hz hti(r) = R T2 25 Hz ht2(r) = at2 + b2 Bi 5Hz hbl(r)=L R B2 10 Hz hb2(r) = ab2 (-)2 + bb2 (j-)3 B3 20 Hz hb3(r) = ab3 (r)2 + bb3 ()3 Tableau 1.1: Caractéristiques modales de la pale Le premier mode de traînée (Ti) et le premier mode de battement (Bi) ont des formes modales correspondant à des modes rigides mais une fréquence non-nulle. Ces paramètres ont été choisis de façon à prendre en compte les articulations de battement et de traînée ainsi que l'adaptateur de traînée. Ces articulations autorisent des mouvements de corps rigide mais imposent une fréquence non nulle pour le mode correspondant. Les modes supérieurs, aussi bien en traînée qu'en battement, correspondent aux modes de flexion approchés d'une poutre encastrée à une extrémité et libre à l'autre. Les six coefficients modaux at2, ab2, ab3, bt2, bb2 et bb3 sont calculés de manière à obtenir une expression approchée des premiers modes de flexion. A priori, les formes modales choisies ici ne sont pas compatibles avec les relations d'orthogonalité entre les modes que nous avons utilisé pour établir les équations du mouvement. Ce sont donc bien des formes modales approchées que nous présentons dans le tableau 1.1. Pour une pale réelle, les formes modales exactes sont évaluées de façon discrète par la méthode des Eléments Finis et permettent de calculer numériquement les coefficients linéaires qui interviennent dans les équations du mouvement. Par contre, les coefficients non- linéaires ne sont pas calculables par cette méthode. Pour s'affranchir de ce problème, nous introduisons des formes modales approchées tout en supposant que les relations d'orthogonalité demeurent vraies. Nous vérifions dans un premier temps que ces formes modales fournissent une bonne approximation des coefficients linéaires et ensuite nous utilisons cette forme analytique pour calculer les coefficients non-linéaires. A partir de ces formes modales, nous pouvons calculer tous les coefficients qui interviennent dans la dynamique du rotor et dans l'expression des efforts Chapitre 1: Modélisation du rotor 52
aérodynamiques. Cependant, les coefficients qui décrivent les termes linéaires peuvent être déterminés à partir d'essais d'identification modale afin de connaître leur valeur exacte. Cela permet de vérifier que l'approximation faite en les calculant à partir des formes modales est valide. Par contre, les coefficients qui décrivent les non-linéarités ne peuvent pas être mesurés et le calcul qui en est fait à partir des formes modales ne peut donc pas être vérifié. La valeur de ces coefficients non-linéaires sera donc toujours peu fiable. 1.4.1 SYSTEME SANS EXCITATIONS AERODYNAMIOUES Afin de faciliter l'étude du modèle précédent, nous allons commencer par étudier le modèle obtenu en linéarisant les équations du mouvement. Pour cela, nous ne conserverons que les termes d'ordre 1 par rapport aux variables qbi, qti et Od. De plus, nous ne prendrons pas en compte ici les efforts aérodynamiques. Moyennant ces hypothèses, les équations de comportement du rotor s'écrivent: Jibi qbj + Pbi - Q2 sinOo) qbi = - Od Q ßbi cosüo Pti qti + 1ti (w - Q2 cos2Oo) qti =- Od Q ßt sinOo T B I Od + GJ Od = + Q 4tj sin 9ü + Q ßi qbi cûsOo i=1 i=1 Chapitre 1: Modélisation du rotor (1.45) Le système (1.45) peut se mettre sous la forme d'une équation matricielle M X ± C ± K X = O où les matrices M, C et K sont de dimension 6 x 6. Nous calculerons les valeurs propres de cette équation et étudierons leurs évolutions en fonction de , la vitesse de rotation du rotor. Le module d'une valeur propre donne la fréquence du mode associé alors que la partie réelle est proportionnelle à l'amortissement modal. Les résultats sont présentés sur la figure (1.9). 53
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Cette limitation est très pénalis
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Soit M un point courant de la pale
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