Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

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Les coefficients ji et a interviennent dans la partie linéaire du comportement du rotor. Les coefficients f3 décrivent les couplages linéaires entre les modes de déformation de la pale et la torsion. Au contraire, les coefficients X et y représentent les couplages non- linéaires entre les modes de déformations. Les coefficients du type X permettent de décrire les non-linéarités polynomiales de degré 3 alors que ceux du type y décrivent les nonlinéarités polynomiales dordre 2. Tous ces coefficients peuvent être calculés à partir de la connaissance des déformées propres des modes de la pale comme nous le montrons en Annexe I. 1.3.2 MODELE ELASTIOUE Il faut maintenant calculer l'énergie de déformation emmagasinée par la pale pendant sa déformation. Pour cela, nous supposerons que la pale a une section symétrique c'est à dire que l'axe élastique et l'axe de torsion sont confondus. Nous pouvons alors négliger les énergies de couplage battement - torsion et traînée - torsion. L'énergie de déformation totale U est donc la somme des énergies de déformations dues au mouvement de battement, au mouvement de traînée et à la torsion. T B U=i /1ticoiq+1- /1bjoq+-GJo 2jr1 2 (1.27) où jij et sont respectivement la masse modale et la pulsation propre du ième mode de traînée. Nous avons les mêmes notations pour les modes de battement avec un indice b. Dans le terme de l'énergie de déformation en torsion, G est le module d'élasticité en cisaillement et J le moment d'inertie polaire de la pale. Le produit G J est donc la raideur en torsion de la pale. Enfin, il faut également remarquer que le terme ü n'intervient pas dans l'expression de l'énergie de déformation puisque la pale est supposée à l'équilibre dans la position où elle est déjà inclinée de cet angle de pas statique O. Chapitre 1: Modélisation du rotor 44
1.3.3 EQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA PALE ISOLEE Nous pouvons établir les équations du mouvement de la pale en l'absence d'excitations aérodynamiques en utilisant la méthode de Lagrange. Le Lagrangien du système L = T - U s'exprime avec les équations (1.26) et (1.27). Ii dépend des variables qti , Itii qbi, qbi , Od et ed. L'équation relative au ème mode de traînée s'écrit: 3T iLJ qti) a1 + = o Les calculs développés en Annexe I conduisent aux équations suivantes pour les différents modes de traînée: «B I1ti q + iitj (w - Q2 cos2øo) = Od vijqbj j=1 .1 B + Od f2 - Q ßt sinO0) k i=1 2 T + Od qtj (1.28) (1.29) L'expression précédente représente un système de i équations relatives aux coordonnées qti Le premier membre d'une équation de traînée est l'équation d'un oscillateur non-amorti à une dimension. Les effets gyroscopiques se traduisent par une raideur négative - 2 cos2O. La stabilité du système dépend donc de la position relative des modes de traînée par rapport au régime rotor. Le cas le plus critique est obtenu pour Oü=0. La stabilité est donc déterminée par la position de wti - pulsation propre du premier mode de traînée - par rapport à Q. Les rotors articulés ont un premier mode de traînée qui se situe entre 0,2 et 0,3 Q. Pour des rotors non-articulés ou équipés d'adaptateurs de traînée, il est possible d' atteindre une fréquence beaucoup plus élevée. Mais dans tous les cas, la valeur du premier mode de traînée ne doit pas être trop proche de Q afin d'éviter des charges excessives sur les pales. Les rotors d'hélicoptères appartiennent donc à l'une des deux classes suivantes - définies par Johnson [44] -: - les rotors "soft in-plane" - souple dans le plan - pour lesquels le premier mode de traînée a une pulsation propre inférieure à Q. - les rotors "stiff in-plane" - raide dans le plan - pour les quels le premier mode de traînée est situé au-dessus de Q. Les rotors "soft in-plane" peuvent conduire à une instabilité comme le montre l'équation (1.29) pour laquelle nous constatons que la raideur modale du premier mode de Chapitre 1: Modélisation du rotor 45
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w2 Wi Figure 11.5: Bi-spectre et co
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La figure 11.11 permet de comparer
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Cette limitation est très pénalis
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la forme: 4-jE0U1 + a9u1 + iAuu3 EU
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Nous allons comparer le résultat o
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Afin de calculer les solutions pér
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Ai+ieq-Mi-ai O O o (2.91) Pour ne p
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-y A ce stade, nous avons pris en c
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NI C/) G) I- 2 Q) G) o C G) 10 9 8
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Il ressort de l'étude du premier m
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Nous disposons également des carac
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Le diagramme des amortissements n'e
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u) Q) 02 Du) Q) > u) Q) Q) Q) Q) .?
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La figure 111.7 montre que l'amorti
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A partir du torseur en tête rotor
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Afin de compléter l'étude de ce c
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Soit M un point courant de la pale
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= b b 2 lJ + Umca = (-m wq1+ -J2 qj
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modes devient plus difficile et les
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