Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

linéaire perturbée. L'ouvrage de Mickens [54] donne un bon aperçu de la diversité des
méthodes susceptibles d'être utilisées lors de l'analyse non-linéaire et les travaux de
Szemplinska-Stupnicka [77 et 78] ont permis de montrer l'équivalence de ces diverses
approches pour de nombreux systèmes non-linéaires. Ces méthodes permettent d'étudier les
bifurcations des systèmes dynamiques - Lin [52] , Malasoma et Lamarque [53] - ou encore
les couplages non-linéaire entre les degrés de liberté - Padmanabhan [62] -.
Une approche totalement différente a vu le jour avec l'introduction des séries
de Volterra. La théorie proposée par Volterra dès 1880 a connu un fort développement
rendu possible par l'accroissement de la puissance de calcul disponible. Les bases théoriques
de cette méthode sont présentées dans l'ouvrage de Schetzen [70]. Le principal intérêt de
cette méthode est qu'elle permet d'identifier les systèmes non-linéaires par une analyse
spectrale - Billings et Tsang [7 et 8] -. Tomlinson [83] a démonté la puissance de l'utilisation
des séries de Volterra en comparant les procédures d 'identification des systèmes nonlinéaires.
Vihn et al. [84] ont donné une interprétation physique des résultats issus de
l'analyse par séries de Volterra. De plus, comme l'ont montré Gifford et Tomlinson [26], le
développement en séries de Volterra est directement applicable à une acquisition
expérimentale et permet de définir des fonctions de réponse en fréquence non-linéaires à
partir d'essais expérimentaux. L'identification modale expérimentale des systèmes nonlinéaires
est alors possible au même titre que pour les systèmes linéaires.
Une troisième approche des non-linéarités est basée sur la méthode de la
forme normale. Cette approche repose sur une idée originale de Poincaré [65] dès 1889. Le
point de départ est d'imaginer un changement de variables non-linéaires qui a pour but de
transformer un système d'équations différentielles non-linéaires en un système présentant
moins de non-linéarités et éventuellement en un système linéaire. L'étude théorique d'une telle
transformation a été menée par de nombreux auteurs - Birkhoff [9] , Arnold [3 et 4] , Moser
[55] , boss et Joseph [39] -. Plus récemment, Bogaevski et Povzner [10] incluent cette
méthode dans la théorie des perturbations. Les travaux de Brjuno [13 et 14] ont permis de
démontrer l'existence et la stabilité des formes normales sous certaines hypothèses. Hsu [36
et 37] utilise cette méthode pour définir les comportements critique et post - critique d'un
système non-linéaire particulier. Jézéquel et Lamarque [43] ont mené une étude très complète
d'un système dynamique amorti à deux degrés de liberté. Dans le cas des vibrations libres
des systèmes hamiltoniens, ils ont fait apparaître de manière naturelle la notion de modes
non-linéaires. En poussant cette méthode encore plus en avant, il est possible de définir des
procédures de synthèse modale non-linéaire.
Les développements actuels des recherches dans le domaine non-linéaire ont
permis de développer des outils qui sont le pendant de ceux utilisés dans le domaine
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