Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

La stabilité d'un rotor et plus généralement des systèmes gyroscopiques a été
étudiée par de nombreux auteurs. Huseyin [38] a établi un critère de stabilité facilement
exploitable pour les systèmes gyroscopiques conservatifs. Ces travaux ont été étendus aux
systèmes faiblement amortis présentant des couplages gyroscopiques par Fox [25]. Shamie
et Friedman [73] ont quant à eux mené l'étude complète de la stabilité aéroélastique d'un
rotor. Haller [30] a exploré les divers chemins conduisant à l'instabilité d'un système
gyroscopique. Tous ces travaux ont permis de mettre au point diverses méthodes de calcul
de la stabilité d'un rotor directement applicables par les Bureaux d' Etudes industriels.
Les grandes déformations subies par les pales lors du fonctionnement d'un
rotor rendent ce système fortement non-linéaire. Ehrich [22 et 23] a même pu observer un
comportement chaotique. Sur un modèle simplifié, Flowers et Tongue [24] sont parvenus au
même résultat. L'apparition du chaos est un phénomène classique sur les systèmes non-
linéaires tournant comme le montre Di Maggio associé à Yeh [87] et à Panayotidi [63]. Berge
[6] et Thomson [80] donnent dans leurs ouvrages respectifs des méthodes intéressantes pour
caractériser de façon formelle l'apparition du chaos.
Cependant, même si les non-linéarités ne conduisent pas dans tous les cas à
un comportement chaotique, leurs influences méritent d'être étudiée. Brewer et Godoy [12]
proposent une méthode pour déterminer les transitions entre état stable et état instable d'un
système fortement non-linéaire. Iwankiewicz et Nielsen [40] étudient la réponse dynamique
d'un système non-linéaire excité par des impulsions aléatoires alors que Socha et Soong [74]
proposent une méthode de linéarisation basée sur une méthode de sensibilité. De nombreux
autres auteurs se sont également attachés à caractériser les effets non-linéaires sur des
systèmes mécaniques. Les travaux de Nayfeh et Mook [60] sont probablement les plus
aboutis puisqu'ils présentent de nombreux résultats concernant plusieurs types de non-
linéarités.
Il est vite apparu indispensable de développer des méthodes d'études
originales pour étudier les systèmes non-linéaires. Nous nous sommes donc intéressé aux
trois grandes classes de méthodes existantes.
La première classe de ces méthodes consiste à rechercher une solution
approchée du système non-linéaire par perturbation de la solution associée au système
linéarisé - Nayfeh [61] -. Dans ce domaine, l'école russe a jeté les bases de la théorie. Les
travaux de Krylov et Bogoliubov [46] puis de Bogoliubov et Mitropolsky [11] ont permis de
développer de nombreuses techniques d'analyse. La méthode de la moyenne harmonique, la
technique ces coefficients variant lentement dans le temps, la méthode de développement
asymptotique, la méthode de Ritz - Galerkin et la méthode des échelles multiples - Poincaré
et Lindstet - sont toutes issues plus ou moins directement de la recherche d'une solution
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