Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

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= b b 2 lJ + Umca = (-m wq1+ -J2 qj)± tKbl où WI et sont les pulsations propres des deux modes de battement, Kb est la raideur de la suspension et li la distance entre le point de basculement de la BTP et la position de la raideur de suspension. En utilisant la méthode de Lagrange à partir de l'expression du Lagrangien donné par (4.5) et (4.6), nous obtenons un système déquations différentielles linéaires du second ordre en q, q et 4 à coefficients périodiques du type cos et sin iji. ii est alors judicieux dutiliser le changement de variables de Coleman qui permet de se ramener à un système déquations différentielles linéaires à coefficients constants. IV.2.1.2 Equations du mouvement Nous introduisons tout d'abord les variables de Coleman en posant: b ui= :: qcos1jIj j=1 vj= d b qsin1/íj j=1 Les degrés de liberté ql,j et q2,j au nombre de 2 b où b nombre de pales du rotor - sont remplacés par les quatre variables ui, v, U2 et V2. L'équivalence entre ces deux séries de variables a été démontrée par Coleman. En toute rigueur, il faudrait considérer le changement de variable complet définit par: Uk i = Vk i = wi= d b j=I qj,j cos (k'j) qj, sin (k) j=1 1ket les b variables u , Vk - modes progressif et régressif - w - mode collectif - et xb/2. Chapitre 4 : Instabilité de couplage Rotor - Structure (4.6) (4.7) 190
Cependant, l'expérience montre que les variables w et xb/2 n'apportent rien à la description de la dynamique du système. Dans la suite, nous prendrons donc en compte uniquement les variables u et y ; nous conserverons bien sur la variable c1 associée au basculement de laboite de transmission de puissance. A l'aide du changement de variables (4.7), nous allons établir les équations du mouvement relatives aux modes du rotor. Nous avons pris en compte deux modes de battement par pale ; en tenant compte du doublement du nombre de variables introduit par le changement de variables retenu, nous obtiendrons donc quatre équations. En l'absence de forces extérieures - efforts aérodynamiques -, l'équation en u est obtenue de la manière suivante: - CosVIj=O ¡=1 dt)qjj a11,1 Tous calculs effectués, il vient: piii+ 2 Qp1z)1 + vi ¿/+ pi(o)12 -Q2)u1= 0 (4.10) De manière similaire, l'équation du mouvement relative à la coordonnée de Coleman v est établie en utilisant la relation: - sinVIj=0 ¡=1 dtJq11 a71,1 Nous obtenons alors: p 1j -2 Qp û1 + b y Q + - 122) v = 0 (4.12) Pour plus de détails concernant l'obtention des équations, le lecteur pourra se reporter au chapitre III paragraphe 3.2. Il reste maintenant à établir l'équation associée à la variable angulaire 4. A cet effet, nous partons de l'expression de l'énergie cinétique totale (4.5) et de l'énergie potentielle totale (4.6) du système. En l'absence de forces aérodynamiques extérieures, l'équation du mouvement s'écrit: JL - dtj/, Ø - (4.13) Chapitre 4 r Instabilité de couplage Rotor - Structure 191 (4.9) (4.11)
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N° d'ordre 94 - 53 MEMOIRE DE THES
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ECOLE CENTRALE DE LYON Directeur: E
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Machines Thermiques Photocatalyse M
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RESUME Le développement croissant
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INTRODUCTION Table des Matières I
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111.3 Etude numérique du couplage
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INTRODUCTION Les vibrations sur un
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La stabilité d'un rotor et plus g
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linéaire. La méthode de la forme
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identifier les effets non-linéaire
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1.2 MODELISATION NUMERIQUE DU ROTOR
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accélérations aux articulations (
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Soit (O, XD, D, ZD) le trièdre li
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1.2.1.4 Méthode de résolution Nou
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1.2.2 LE MODELE PALE SOUPLE L Y (tr
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Il faut remarquer que du point de v
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1.3.1 MODELE INERTIEL Afin de décr
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La vitesse V (M) dun point courant
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Les coefficients ji et a intervienn
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traînée peut être négative. C'e
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aérodynamiques - et comme axes pri
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Ainsi, en combinant les équations
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25 NI 20 i: 30 20 (Q Q) o o- 10 (Q
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troisième mode de battement. Pour
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terme sin O reste négligeable deva
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1.5 PRISE EN COMPTE DE NON-LINEARIT
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niveau vibratoire est donc beaucoup
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Le cas linéaire montre que plus la
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11.3 LES SERIES FONCTIONNELLES DE V
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mc+ky+dy2=x(t) (2.24) Nous choisiss
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qb3 + qb3 + mb Cb = maoqt2-2mbaOqt2
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11.3.3 INTERPRETATION DES RESULTATS
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w2 Wi Figure 11.5: Bi-spectre et co
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C\J 12- 10- 6 o' o ,,,. w2 ; ;.'t,.
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0.6- 00.5 Cl) ao w o E 0.3- -a w -a
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La figure 11.11 permet de comparer
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Cette limitation est très pénalis
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où les sont des fonctions analytiq
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x= O C i o Soit encore: X=AX+F,i(X)
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(I+aT3 (U))d.L- D(U+ T3(U))+ Gj(U+
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la forme: 4-jE0U1 + a9u1 + iAuu3 EU
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Nous allons comparer le résultat o
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Afin de calculer les solutions pér
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uiu0exp(-iot) u3=u0exp(iwt) u2=O U4
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Ai+ieq-Mi-ai O O o (2.91) Pour ne p
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0.6- 0.4 0.2 - g =0.04 -.-g=0.08 5
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-y A ce stade, nous avons pris en c
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