Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

d
dt
w
w
V
- V-
4=Ai(f1±12) =B»f1+f21 2J
4iiü1f1 c-h=2f2
dt
avec
Nous poserons alors:
- Eq zi + alzi + M1 zifif2
j dt
d z - Eq2 +i z2+M1 z2fif2
dt
dz3_jEz3±a2z3+M2z3f1f2
dt
d z4 - j £6z4 + 2 4 + A2z4fif2
dt
(2.87)
(2.88)
En fait, nous augmentons la taille du système (2.87) pour pouvoir prendre en
compte les dépendances de 4 et de par rapport au temps. Nous appliquons alors un
nouveau calcul de forme normale sur le système ainsi obtenu en utilisant deux paramètres de
detuning al et cx2. Nous pouvons finalement écrire:
(2.89)
où Mi et M2 sont des coefficients complexes qui ne dépendent que des
paramètres du système, de A1 et B1 et de coi.
La transformation normale T3 qui permet de revenir aux variables w et y est
bien sûr calculée simultanément. Nous étudions alors la stabilité par la méthode de Floquet
c'est à dire que nous cherchons les solutions sous la forme:
f2 = 1, il vient:
O
i
c-2y
o
-e+myO
O
-2y4
o
-mc+2myqe
o
-2y44
= z0 exp (A1 t) avec A complexe (2.90)
En reportant cette expression dans le système (2.89) en prenant de plus f1 =
Chapitre 2 Analyse non-linéaire 128
i
-
O
o
o
-
w
w
V