Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

11.4.2.4 Etude de la stabilité des vibrations libres
Nous allons étudier ici la stabilité du système en l'absence de forces
d'excitations aérodynamiques. Nous considérons alors le système d' équations
q+ + mc m yq Ô2
¿ O-cij=-2 yqc O
(2.83)
et nous posons q = + w et O = + y où w et y représentent des petites
perturbations autour des solutions non-linéaires et . En reportant ces expressions dans les
équations (2.83), et en ne conservant que les termes d'ordre i par rapport à w et y, il vient:
fth+sw+mcò=my(2+2w) (2.84)
+
Nous nous intéressons alors à la stabilité d'une des harmoniques des modes
non-linéaires. En effet, nous avons vu que, par l'intermédiaire de la transformation normale,
les variables et pouvaient s'exprimer comme des polynômes en ui et 113 à condition de ne
conserver que le mode non-linéaire de torsion. Les résultats précédents nous ont également
permis d'établir que:
ill = u1° exp (i COI t) u3 = u3° exp - i coi t)
=
(v"(+ Eq)2+ mc2 + /(E6Eq)2+ mc2) -A IIuII2
Il est donc clair que et peuvent s'écrire sous la forme:
2=A1cos(co1 t± i)±A3cos(3 Wi t+ 3)
= Bicos(wi t+ ,i)+ B3cos(3 wj t+ í)
(2.85)
(2.86)
Ici, nous conserverons uniquement les harmoniques d'ordre i et d'ordre 3 car la
normalisation à l'ordre 3 ne génère que ces termes. Mais une normalisation d'ordre supérieur
créerait des harmoniques supplémentaires. Les coefficients des harmoniques A1, A3, B1 et B3
sont reliés aux coefficients de la transformation normale.
Pour étudier la stabilité de la première harmonique du mode non-linéaire, nous
ne conserverons que les termes A1 et B1. De plus, comme nous sommes dans le cadre des
vibrations libres du système, il est légitime de prendre i = 'vi = O. Le système d'équations
en w et y peut donc être mis sous la forme:
Chapitre 2 : Analyse non-linéaire 127