Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

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Le changement de variables (2.76) permet donc de passer à un système diagonal en choisissant: gi et b gi A.j-i Il faut cependant remarquer que si une fréquence propre du système linéaire est égale à la fréquence de la force d'excitation, alors le système ne peut plus être mis sous une forme diagonale. Dans ce cas, il restera des termes du type gj fj dans les équations du mouvement. Dans le cadre de notre étude, les résonances du système linéaire sont loin de la fréquence de la force d'excitation et nous obtenons alors: d dt du2 dt Z1 Z2 Z3 Z4 fi f2 - A1 O O O O O O '2 O O O O O O A3 O O O O O O A, O O O O O O-i O _O O O O O i Eq U2 + aq 112 + i Cui t12 t13 + i D u U4 + F u2fif2 du3 =iE0u3+u3-iAu3u1 -iBu2u3u4-iF1 u3fif2 dt du4 =EqU4+U4CU1 u3u4-iDuu2iF2u4fif2 dt Chapitre 2 : Analyse non-linéaire 124 (2.78) Nous sommes alors ramené dans la situation étudiée dans le cas des vibrations libres avec cependant une augmentation de la taille du système due aux termes d'excitation aérodynamique. La forme normale du système est: = - i u1 + a u1 + i A u? u3 + i Bu1 u2 u4 + i F uif1f2 (2.80) Les nouveaux coefficients F1 et F2 sont réels et dépendent des paramètres linéaires du système - Eq, Ee, m, c et y - ainsi que de la force d'excitation fq. Yi Y2 y3 y4 fi f2 Hl(y1,...,y4,fi,f2) H2 nl (y1,.. ., y4 fi sf2) ..y4,fi,f2) H4 nl (y1,. . . , y4 fi 1f2) Le système normalisé (2.80) peut être utilisé pour rechercher la présence du premier mode non-linéaire en annulant les termes associés à la normalisation du degré de liberté de battement. Nous rechercherons donc les solutions périodiques sous la forme: o o (2.79)
uiu0exp(-iot) u3=u0exp(iwt) u2=O U4O (2.81) avec u0 complexe. Nous obtenons alors, comme dans le cas des vibrations libres, une relation entre l'amplitude et la fréquence du mode non-linéaire mais cette fois-ci, cette relation fait aussi intervenir l'amplitude de la force d'excitation. w= -(/(e9+ £q)2+ mc2 + J(EEq)2 + m c2) -A IIuqll2 - F1f Bien que nous ne donnerons pas ici l'expression de la transformation normale, il est possible de la calculer analytiquement et donc de se ramener dans la base initiale des coordonnées q et 0. Nous comparerons donc la réponse fréquentielle obtenue à partir des deux modes non-linéaires et celle obtenue par une intégration temporelle des équations initiales - Figures 11.15 et 11.16 -. Pour faire ces comparaisons, nous avons fixé les paramètres linéaires du système à leurs valeurs nominales soit Eq = 5 ; e( = 6 ; m = 8 ; c = 0,25. lolo 1 0 1015 Chapitre 2 : Analyse non-linéaire Figure 11.15: Réponse en battement - Runge - Kutta Premier mode non-lineaire - Second mode non-lineaire 1 2 3 4 5 6 7 Pulsation (radis) Comparaison de l'intégration directe et de la méthode de la forme normale - y= 0,04 I: j: Tor. 125 (2.82)
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