Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

Le changement de variables (2.76) permet donc de passer à un système
diagonal en choisissant:
gi et b gi
A.j-i
Il faut cependant remarquer que si une fréquence propre du système linéaire
est égale à la fréquence de la force d'excitation, alors le système ne peut plus être mis sous
une forme diagonale. Dans ce cas, il restera des termes du type gj fj dans les équations du
mouvement. Dans le cadre de notre étude, les résonances du système linéaire sont loin de la
fréquence de la force d'excitation et nous obtenons alors:
d
dt
du2
dt
Z1
Z2
Z3
Z4
fi
f2 -
A1 O O O O O
O '2 O O O O
O O A3 O O O
O O O A, O O
O O O O-i O
_O O O O O i
Eq U2 + aq 112 + i Cui t12 t13 + i D u U4 + F u2fif2
du3 =iE0u3+u3-iAu3u1 -iBu2u3u4-iF1 u3fif2
dt
du4 =EqU4+U4CU1 u3u4-iDuu2iF2u4fif2
dt
Chapitre 2 : Analyse non-linéaire 124
(2.78)
Nous sommes alors ramené dans la situation étudiée dans le cas des
vibrations libres avec cependant une augmentation de la taille du système due aux termes
d'excitation aérodynamique. La forme normale du système est:
= - i u1 + a u1 + i A u? u3 + i Bu1 u2 u4 + i F uif1f2
(2.80)
Les nouveaux coefficients F1 et F2 sont réels et dépendent des paramètres
linéaires du système - Eq, Ee, m, c et y - ainsi que de la force d'excitation fq.
Yi
Y2
y3
y4
fi
f2
Hl(y1,...,y4,fi,f2)
H2 nl (y1,.. ., y4 fi sf2)
..y4,fi,f2)
H4 nl (y1,. . . , y4 fi 1f2)
Le système normalisé (2.80) peut être utilisé pour rechercher la présence du
premier mode non-linéaire en annulant les termes associés à la normalisation du degré de
liberté de battement. Nous rechercherons donc les solutions périodiques sous la forme:
o
o
(2.79)