Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

la forme:
4-jE0U1 + a9u1 + iAuu3
EU3 + u3-iA u u
Nous cherchons alors des solutions périodiques à ce système d'équations sous
ui = u1° exp ( - i w t) u3=uexp(iwt) (2.67)
où u et i sont complexes conjugués. w est un réel qui représente la pulsation du mode non-
linéaire.
En reportant les formes supposées de la solution (2.67) dans les équations de
la forme normale (2.66), il vient:
(2.68)
En se reportant à la définition de a9 et de Xi, et en posant u i = IIuII2 -
module de ui au carré - , alors nous obtenons:
úi= /(+ Eq)2 + mc2 + s/(E6Eq)2 + m c2) -A IIuII2 (2.69)
Nous avons établi une relation entre la fréquence et l'amplitude du premier
mode du système ce qui caractérise effectivement un mode non-linéaire. Néanmoins, il est
nécessaire pour définir entièrement ce mode de revenir aux variables initiales en utilisant la
transformation normale inverse et le changement de variable utilisé pour diagonaliser la
partie linéaire.
u1
o
U3
o
x=PY
+ T3(u1,O,u310)
(2.66)
Dans un souci de clarté, nous fixerons dans la suite les paramètres Eq, E, m et
c qui sont reliés aux caractéristiques linéaires du rotor et donc bien connus - à partir
d'identification modale expérimentale ou de calcul analytiques linéaires -. Par contre, nous
conserverons le paramètre 'y qui décrit le couplage non-linéaire entre la torsion et le battement
et qui ne peut pas être mesuré ni calculé avec précision. Nous poserons donc:
Chapitre 2 : Analyse non-linéaire 119
(2.70)