Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

Le vecteur des t3 contient 80 coordonnées qui doivent être calculées afin de
supprimer le maximum de termes non-linéaires g3ij La résolution sur le noyau de A - pour
lequel le système n'est pas inversible - va fournir les termes non-linéaires résonants ; les
termes correspondants de la transformation normale T3 seront choisis arbitrairement. Au
contraire, la résolution sur le complémentaire du noyau va donner les termes de la
transformation T3. Les calculs nécessaire à l'obtention de la transformation normale et des
termes résonants sont très lourds vu le grand nombre d'inconnues, nous utiliserons donc le
logiciel de calcul formel MAPLE afin de faire ces calculs de façon systématique pour un
nombre en théorie illimité d'inconnues. En pratique, la limitation se situe au niveau des
moyens informatiques puisque le nombre de termes à calculer croît très vite avec le nombre
de degrés de liberté pris en compte.
Nous ne donnerons pas ici l'expression de la transformation normale. En effet,
tous calculs faits, l'expression obtenue est très lourde. Par contre, la forme normale du
système est relativement simple ; elle s'écrit:
du
i-= -iu1 + a6u + iAu? U3 + iB u1 u2 u4
iEqU2+aqU2+iCu1U2U3+iDuU4
i E,U3 + u3 - jA u u1-iB u2 U3 U4
(2.65)
Les coefficients A, B, C et D sont des réels qui dépendent uniquement des
paramètres du systèmes c'est à dire de , ce, m, c et y. L'expression de ces coefficients étant
très lourde à gérer, elle n'est pas écrite ici mais nous donnerons des expressions simplifiées
en fixant certains paramètres du système.
11.4.2.2 Définition des modes non-linéaires
A partir de la forme normale du système, nous pouvons définir les modes
non-linéaires. La technique de calcul de ces modes se fait en recherchant d'une part u et U3
inconnues associées aux valeurs propres - i E9 et + i ce quand U2 = U4 = O - premier mode
non-linéaire - et d'autre part en recherchant u2 et U4 associées à la pulsation 8q quand ui =
u = O - second mode non-linéaire -. Ainsi, pour la recherche du premier mode non-linéaire,
nous sommes amenés à résoudre:
Chapitre 2 : Analyse non-linéaire 118