Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

(I+aT3 (U))d.L- D(U+ T3(U))+ Gj(U+ T3(U)) (2.59)
Pour U "assez petit" , l'identité est peu perturbée par la jacobiennne T3 (U).
Dans ce cas, I + T3 (U) reste inversible et nous obtenons:
égal à 3.
(I+aT3 (u))-1--I-T3 (u)+.. .
L'équation s'écrit donc:
(2.60)
_!L=[IaT3 (u)+...][Du+DT3(u)+G1(u)+G(u)T3(u)] (2.61)
Nous ne retiendrons dans cette équation que les termes de degré inférieur ou
dU = D U+ D T3(U)-T3 (U)D U+ Gj(U)+ Gj3(U) (2.62)
Dans cette équation, Gi>3 représente les termes non-linéaires de degré
supérieur à trois qui ne sont pas pris en compte pour le calcul de la forme normale à l'ordre
3. Pour calculer la transformation normale T3, il suffit d'écrire l'équation précédente sur la
base des ej j = 1, 80. Nous obtenons alors un système linéaire du type:
A
t311 g311 -
t3220_ g322o_
(2.63)
A titre d'illustration, nous présenterons les équations linéaires relative aux
deux premières coordonnées de la transformation normale.
2 1 t311 = g311
(2i + 2.2) t312 = g312 (2.64)
En fait, si la partie linéaire du système est diagonalisable, alors la matrice A
est nécessairement diagonale. Ainsi les coefficients de la diagonale de A sont des
combinaisons linéaires des valeurs propres linéaires. Les termes résonants qui correspondent
à la nullité d'une des combinaisons linéaires des valeurs propres apparaissent alors
naturellement.
Chapitre 2 : Analyse non-linéaire 117