Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

Le calcul de la transformation normale revient à trouver un changement de
variables qui va supprimer un maximum de termes non-linéaires. Nous cherchons de
nouvelles variables U sous la forme
Y= U+ T3(LJ)
avec U=(ui ,u2,u3,u4)t et T3(U)=(T31(U), T32(U), T33(U), T34(U))t
Plus précisément, la transformation normale à l'ordre 3, T3(U), est cherchée
sous la forme de polynômes de degré 3 en les coordonnées de U c'est à dire:
T3U) = t3p U? + t3j2 U? U2 + . . . + t3]9 Ui U3 U4 + . . . + t3]19 U U4 + t32o u (2.57)
Chaque coordonnée du vecteur T3 est un polynôme de degré 3 à coefficients
complexes qui contient les 20 monômes construits à partir des 4 variables u à U4. Les
coefficients t3 sont à déterminer afin de supprimer le maximum de termes cubiques de
léquations initiale.
Construisons la base de l'espace vectoriel sous-jacent à l'ensemble des
polynômes de degré 3 de quatre variables:
devient:
el = u?
'0
e2i=u? i
O
0i
/0
e4i=u? O
i
0
Io
e61=u?
Il vient alors:
i
O e=uu
O
O
O
O
'1
,e4o=u
Ii
0 I,.. 30
0
01
0/
'0
Chapitre 2 Analyse non-linéaire 116
(2.56)
20 20 20 20
T3 (U) = t3li e + t32j ej + 20 + t33k k + 40 + t341 ei + 60 (2.58)
1=1 j=1 k=l 1=1
O
...,e6o=u O
i
O
O
O
O
1
L'équation à laquelle nous appliquons le changement de variables non-linéaires