Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

x=
O
C
i
o
Soit encore:
X=AX+F,i(X) (2.52)
OÙ Fnl représente les vecteurs contenant les non-linéarités - qui ne sont
ici que de degré 3 -.
Nous diagonalisons alors la partie linéaire - matrice A - du système en
utilisant le changement de variables qui permet de passer de la base initiale à la base des
vecteurs propres. Soit P cette matrice de passage, il vient:
?=DY+G1(Y) (2.53)
avec D = P A P et X = P Y. D est la matrice diagonale construite à
partir des valeurs propres de A. Le nouveau vecteur contenant les non-linéarités d'ordre 3
est donné par G1 (Y) = j3 i F1 (P Y). A ce stade du calcul, l'expression des changements de
bases devient très lourde à manipuler. Par exemple, la matrice D s'écrit:
D= diag(Ai ,A2 ,A3,A4)
A1 = /(E9+ Eq)2+ mc2 + EjEq)2+ mc2)
A2 = - (/(Ee + E1)2 + mc2 - J(e9 Eq)2 + mc2 ) (2.54)
A3 = A1 = - A1 où Xi est le conjugé de A1
A4 = A2 - A2
-mc
O
O
i
-E
S'il ny avait pas de couplage gyroscopique (c = O ), nous aurions A.1 = - i et
A.2 = - Eq. Nous introduisons alors deux paramètres de detuning qui permettent de décrire le
fait que, même en présence de couplage gyroscopique, les valeurs propres sont proches de - i
E et - i Eq. Nous posons:
A1 = - i E + A2 = - i + aq
A3 = i E + Xi = Eq +
O
O
o
-E
O -
O
o
x+
myq
-2yq
Chapitre 2 : Analyse non-linéaire 115
O
O
2
avec X=
q
O
q
o
(2.51)
(2.55)