Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

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L'analyse des modes non-linéaires apparaît de toute évidence difficile à effectuer dans le cas de structures mécaniques qui nécessitent un nombre important de modes pour décrire leurs déplacements. D'autre part, dans les cas réels, le couplage nonlinéaire entre les modes a une grande importance au voisinage des résonances. Il est alors intéressant de simplifier la recherche des modes non-linéaires en supposant leur loi horaire purement harmonique mais dont l'amplitude et la pulsation dépendent de la coordonnée modale. Les procédures de synthèse modale peuvent alors s'appliquer en recherchant les modes non-linéaires comme solutions d'une structure linéaire qui dépend des amplitudes modales. Les modes non-linéaires sont alors calculés par continuité en augmentant progressivement les amplitudes modales. 11.4.2 APPLICATION AU COMPORTEMENT DE LA PALE Nous allons appliquer ici la procédure de calcul de la forme normale afin d'étudier les résonances non-linéaires de manière systématique. Si nous nous intéressons uniquement à l'étude du couplage entre un mode de battement et la torsion de la pale, les équations du mouvement développées dans le premier chapitre s'écrivent, en adoptant les variables q et O adimensionnelles: + Q q + mc m yq O2 +fqcos(t) i+O-c4=-2 yqcO (2.50) OÙ Eq et E sont les pulsations propres réduites des modes de battement et de torsion, m est le rapport des masses modales (battement / torsion) , c est un paramètre qui décrit le couplage gyroscopique et i décrit les non-linéarités dues au couplage battement - torsion. Les efforts aérodynamiques sont représentés, dans une analyse simplifiée, par le terme fq COS (t). Dans le cadre de cette étude, les non-linéarités qui interviennent sont uniquement de degré 3. Nous ne nous intéresserons donc qu'à la normalisation à l'ordre 3 du système. 11.4.2.1 Forme normale du système sans excitations Afin de définir les modes non-linéaires de la pale, nous étudierons dans un premier temps le système libre c'est à dire avec fq = 0. Dans ce cas, les équations du mouvement s'écrivent directement dans l'espace d'état: Chapitre 2 Analyse non-linéaire 114
x= O C i o Soit encore: X=AX+F,i(X) (2.52) OÙ Fnl représente les vecteurs contenant les non-linéarités - qui ne sont ici que de degré 3 -. Nous diagonalisons alors la partie linéaire - matrice A - du système en utilisant le changement de variables qui permet de passer de la base initiale à la base des vecteurs propres. Soit P cette matrice de passage, il vient: ?=DY+G1(Y) (2.53) avec D = P A P et X = P Y. D est la matrice diagonale construite à partir des valeurs propres de A. Le nouveau vecteur contenant les non-linéarités d'ordre 3 est donné par G1 (Y) = j3 i F1 (P Y). A ce stade du calcul, l'expression des changements de bases devient très lourde à manipuler. Par exemple, la matrice D s'écrit: D= diag(Ai ,A2 ,A3,A4) A1 = /(E9+ Eq)2+ mc2 + EjEq)2+ mc2) A2 = - (/(Ee + E1)2 + mc2 - J(e9 Eq)2 + mc2 ) (2.54) A3 = A1 = - A1 où Xi est le conjugé de A1 A4 = A2 - A2 -mc O O i -E S'il ny avait pas de couplage gyroscopique (c = O ), nous aurions A.1 = - i et A.2 = - Eq. Nous introduisons alors deux paramètres de detuning qui permettent de décrire le fait que, même en présence de couplage gyroscopique, les valeurs propres sont proches de - i E et - i Eq. Nous posons: A1 = - i E + A2 = - i + aq A3 = i E + Xi = Eq + O O o -E O - O o x+ myq -2yq Chapitre 2 : Analyse non-linéaire 115 O O 2 avec X= q O q o (2.51) (2.55)
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N° d'ordre 94 - 53 MEMOIRE DE THES
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ECOLE CENTRALE DE LYON Directeur: E
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Machines Thermiques Photocatalyse M
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RESUME Le développement croissant
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INTRODUCTION Table des Matières I
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111.3 Etude numérique du couplage
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INTRODUCTION Les vibrations sur un
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La stabilité d'un rotor et plus g
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linéaire. La méthode de la forme
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identifier les effets non-linéaire
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1.2 MODELISATION NUMERIQUE DU ROTOR
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accélérations aux articulations (
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Soit (O, XD, D, ZD) le trièdre li
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1.2.1.4 Méthode de résolution Nou
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1.2.2 LE MODELE PALE SOUPLE L Y (tr
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1.2.2.3 Modèle élastique Nous che
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Il faut remarquer que du point de v
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1.3.1 MODELE INERTIEL Afin de décr
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La vitesse V (M) dun point courant
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Les coefficients ji et a intervienn
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traînée peut être négative. C'e
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aérodynamiques - et comme axes pri
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Ainsi, en combinant les équations
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1.4 ETUDE DU COMPORTEMENT LINEAIRE
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troisième mode de battement. Pour
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E 06 04 02- o -0.2- -0.4 06- -08 10
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E c'J o 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 06 Temp
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terme sin O reste négligeable deva
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Par contre du point de vue dynamiqu
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Correction des X par a méthode de
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Ces modes ne décrivent en aucun ca
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A partir du torseur en tête rotor
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Afin de compléter l'étude de ce c
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Nous pouvons encore vérifier la pe
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Le principal résultat que nous avo
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IV.2 MODELISATION BI-DIMENSIONNELLE
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Soit M un point courant de la pale
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= b b 2 lJ + Umca = (-m wq1+ -J2 qj
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Cela conduit à: (b ml2 + Iß+ Im)+
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G, fréquence de coupure et amortis
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K= Les efforts aérodynamiques peuv
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IV.3 ETUDE PARAMETRIQUE DU PHENOMEN
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IV.3.2 ETUDE DE LA BOUCLE DE REINJE
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AMb CD. 15 Q,. ID -ID_05 5 La diver
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modes devient plus difficile et les
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En conclusion, nous pouvons affirme
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Y X Figure IV.12: Système de renvo
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O 2Qii O O O bQvi O -2Qt1 O O O -bQ
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FR1 HZ FR2 HZ FF3 HZ AFI 1 Ariz All
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IV.6 CONCLUSION L'étude présenté
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CONCLUSION Dans la première partie
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caractéristiques de ces pièces on
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U. LEISS, 1984,' A consistent mathe
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Le terme Fb2 se calcule en intégra
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hb qb V, = r hb qb Q cosìv + (hb q
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A II-2 TORSEUR GENERE PAR LE ROTOR
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