Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

dXk1 Dk+1(Xk+1)JXk1 -JDk+l(Xk+1)
dt
=JXk+l + Q2(Xk+l)+ .
. . +
Q(X+i) (2.47)
+Fk+1,k+l(Xk+1)+... +FN,k+l(Xk+l)+X)
avec Fk + i , k + 1(Xk + i) = Fk + i + i). Les termes F , k + l(Xk + i) pour j > k + i sont les
nouvelles non-linéarités de degré k + 2,.. . ,N et les termes Q2,. . . , Q ne sont pas modifiés
par rapport au pas k. Le terme Dki(Xk+1) est la matrice jacobienne de Dk+1. Dans
l'espace Pk + 1, nous obtenons alors l'équation:
Dk+1(Xk+i)JXki-JDk+i(Xk+l)=Fk+I,kXk+1)
(2.48)
Cette équation peut s'écrire comme un système linéaire sur la base
ei,. .., bipk+ 1i ,.. ., b ea,. . . , bjpk+ 1)e , base de k + . Les termes
où j varie de i à dim(Pk + i) constituent la base ordonnée de Pk + i sous espace des
polynômes d'ordre k + 1. Le noyau de ce système linéaire donne les termes non-linéaires
résonants d'ordre k + i du système initial (2.39). De plus, par résolution du système linéaire
(2.48) sur le complémentaire du noyau, nous calculons la transformation normale D k + i.
La transformation normale est naturellement liée à la notion de modes nonlinéaires.
Dans le cas d'un système non-linéaire à n degrés de liberté, un mode non-linéaire
est un vecteur particulier c1 définit de la façon suivante:
't0:'i(M,to)=O VME Q
T:cP(M,t)=(M,t+T) VM Q et Vt (2.49)
aM1:ci(M,t)=F(Ji(M1,t),M) VMEQetVt
Cette définition exprime que les composantes du mode non-linéaire sont toutes
périodiques de période T et qu'elles contiennent l'origine de l'espace des déplacements pour
le même temps to. De plus, la dernière condition exprime que n - i composantes de 1 sont
fonctions de la nième. Les modes non-linéaires apparaissent donc comme une extension des
modes linéaires mais, à l'opposé de ces derniers, les lois horaires qui leurs sont associées
sont complexes avec notamment des périodes qui dépendent des amplitudes. Pour calculer
les modes non-linéaires dans le cas général, il est intéressant d'appliquer la transformation
normale sur le système initial qui s'écrit selon le système (2.44). En effet, la partie nonlinéaire
des équations normalisées ne contient plus que les termes résonants associés à
chaque mode du système linéaire - -. En outre, les variables Yí sont liées aux solutions
périodiques et l'introduction des ces variables permet donc de retrouver la dépendance entre
les périodes et les amplitudes des vibrations.
Chapitre 2 : Analyse non-linéaire 113