Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...
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dXk1 Dk+1(Xk+1)JXk1 -JDk+l(Xk+1)<br />
dt<br />
=JXk+l + Q2(Xk+l)+ .<br />
. . +<br />
Q(X+i) (2.47)<br />
+Fk+1,k+l(Xk+1)+... +FN,k+l(Xk+l)+X)<br />
avec Fk + i , k + 1(Xk + i) = Fk + i + i). Les termes F , k + l(Xk + i) pour j > k + i sont les<br />
nouvelles <strong>non</strong>-linéarités de degré k + 2,.. . ,N <strong>et</strong> les termes Q2,. . . , Q ne sont pas modifiés<br />
par rapport au pas k. Le terme Dki(Xk+1) est la matrice jacobienne de Dk+1. Dans<br />
l'espace Pk + 1, nous obte<strong>non</strong>s alors l'équation:<br />
Dk+1(Xk+i)JXki-JDk+i(Xk+l)=Fk+I,kXk+1)<br />
(2.48)<br />
C<strong>et</strong>te équation peut s'écrire comme un système <strong>linéaire</strong> sur la base<br />
ei,. .., bipk+ 1i ,.. ., b ea,. . . , bjpk+ 1)e , base de k + . Les termes<br />
où j varie de i à dim(Pk + i) constituent la base ordonnée de Pk + i sous espace des<br />
polynômes d'ordre k + 1. Le noyau de ce système <strong>linéaire</strong> donne les termes <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong>s<br />
résonants d'ordre k + i <strong>du</strong> système initial (2.39). De plus, par résolution <strong>du</strong> système <strong>linéaire</strong><br />
(2.48) sur le complémentaire <strong>du</strong> noyau, nous calculons la transformation normale D k + i.<br />
La transformation normale est naturellement liée à la notion de modes <strong>non</strong><strong>linéaire</strong>s.<br />
Dans le cas <strong>d'un</strong> système <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong> à n degrés de liberté, un mode <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong><br />
est un vecteur particulier c1 définit de la façon suivante:<br />
't0:'i(M,to)=O VME Q<br />
T:cP(M,t)=(M,t+T) VM Q <strong>et</strong> Vt (2.49)<br />
aM1:ci(M,t)=F(Ji(M1,t),M) VMEQ<strong>et</strong>Vt<br />
C<strong>et</strong>te définition exprime que les composantes <strong>du</strong> mode <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong> sont toutes<br />
périodiques de période T <strong>et</strong> qu'elles contiennent l'origine de l'espace des déplacements pour<br />
le même temps to. De plus, la dernière condition exprime que n - i composantes de 1 sont<br />
fonctions de la nième. Les modes <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong>s apparaissent donc comme une extension des<br />
modes <strong>linéaire</strong>s mais, à l'opposé de ces derniers, les lois horaires qui leurs sont associées<br />
sont complexes avec notamment des périodes qui dépendent des amplitudes. Pour calculer<br />
les modes <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong>s dans le cas général, il est intéressant d'appliquer la transformation<br />
normale sur le système initial qui s'écrit selon le système (2.44). En eff<strong>et</strong>, la partie <strong>non</strong><strong>linéaire</strong><br />
des équations normalisées ne contient plus que les termes résonants associés à<br />
chaque mode <strong>du</strong> système <strong>linéaire</strong> - -. En outre, les variables Yí sont liées aux solutions<br />
périodiques <strong>et</strong> l'intro<strong>du</strong>ction des ces variables perm<strong>et</strong> donc de r<strong>et</strong>rouver la dépendance entre<br />
les périodes <strong>et</strong> les amplitudes des vibrations.<br />
Chapitre 2 : Analyse <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong> 113