Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

iyi+GIvyv,i=1,...,n
(2.43)
Nous allons maintenant voir comment calculer cette transformation en
utilisant une approximation constituée de changements de variables successifs pour des
degrés de non-linéarités croissants. Pour décrire cette procédure, considérons le cas du
système différentiel non-linéaire autonome suivant:
dXAX+F2(X)++FN(X)+O(XN+I) (2.44)
Pour X E R1', les Fk sont des vecteurs qui contiennent les non-linéarités et dont les
composantes sont des polynômes en X = (xi,.. ., x) de degré exactement égal à k ; le terme
O (XN±) représente les non-linéarités d'ordre strictement supérieur à N. Avec un changement
de variables approprié, il est possible de transformer les non-linéarités du degré 2 jusqu'à un
degré arbitraire k N. Le système obtenu sera la forme normale d'ordre k du système (2.43).
Soit P21. . . , Pk,. . . les sous-espaces des polynômes de degré 2, . . ., k, . . . de
n variables ; nous construisons alors l'espace flk = Pk ei . . . ® Pj e où (ei,.. .,e) est la
base usuelle de R. Afin de normaliser, nous allons utiliser une procédure inductive. Tout
d'abord, à l'aide d'un changement de variables linéaire, nous écrivons la matrice A sous sa
forme de Jordan notée J. Le système normal d'ordre k < N s'écrit donc en fonction de la
variable Xk obtenue après k changements de variables.
JXk+ Q2(Xk)+ .. . + QXk)+Fk1,Xk)+ . . . +F,X)+ x1) (2.45)
Dans l'expression précédente, J Xk + Q2(Xk) + . . . + Qj-(X) est la forme
normale d'ordre k du système (2.44) et Fk + i , k,. . . , FN, k sont les termes non-linéaires
d'ordre supérieur ou égal à k en la variable Xk. Le changement de variables suivant - passage
de k à k+1 - s'écrit:
Xk=Xk1+Dk+i(Xk+i), Xk+leR, Dk+iEHk+i
(2.46)
En reportant ce changement de variables dans l'expression (2.45) et après
avoir réorganisé les termes, il vient:
Chapitre 2 : Analyse non-linéaire 112