Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

où les sont des fonctions analytiques d'argument X = (..., x1, ...). Poincaré a montré qu'il
existe une transformation x1 =
système (2.36) en:
E, (Y) avec ljj (0) = O analytique à l'origine qui transforme le
i=1,...,n (2.40)
Ce théorème est vrai sous les conditions suivantes:
- toutes les valeurs propres X de la partie linéaire sont distinctes
- il existe une droite D du pian complexe passant par l'origine telle que
tous les complexes Xi sont du même côté de D
résonance doit être vérifiée c'est à dire:
pour pkO et k1
- pour le n-uplets d'entiers P = (pl. .
, Pn) la condition de non-
1 alors (P,A)-t1=tpktk-AjOpouri= 1,.. .,n (2.41)
Pour les systèmes dynamiques non-amortis, ces conditions ne sont pas
satisfaites et il est nécessaire d'introduire la notion de forme normale du système différentiel.
Par contre, les travaux de Brjuno [13] et [14] ont permis de montrer que la
théorie de la forme normale s'applique également aux systèmes dynamiques moyennant
quelques transformations préalables. Par un changement de variables préliminaire, la matrice
j / x ] peut être mise sous sa forme de Jordan. Nous appliquons ensuite la
transformation normale x1 = E
Théorème de Bijuno -:
(Y), inversible, qui conserve la forme de Jordan et qui s'écrit -
Xjj gQYQ, i=1,...,n YQ=y1qi...yqn
Q E
Ni={QEZn/Q=(q1,...,qfl)/qi1,qkO si ki, io) (2.42)
giQ = 0 pour tout Q vérzfïant(Q A)== kl qkkO
Cette transformation permet de ne conserver que les termes non-linéaires
résonants c'est à dire les termes gjQ y yQ qui vérifient (Q , A)
= kl
= 0. En
supposant que la partie linéaire du système est diagonalisable, alors la transformation
normale permet de mettre le système (2.39) sous la forme:
Chapitre 2 : Analyse non-linéaire 111