Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

11.4 LA METHODE DE LA FORME NORMALE
La forme normale est une méthode qui permet de calculer les solutions
périodiques de systèmes non-linéaires à plusieurs degrés de liberté. L'idée de la
transformation normale a été proposée pour la première fois par Poincaré [65] puis reprise
ensuite par de nombreux auteurs ( Birkhoff [9], Arnold [3], Moser [55], boss et Joseph
[39],...). Elle consiste à effectuer un changement de variables non-linéaire qui permet de
passer d'un système d'équations différentielles ordinaires contenant des non-linéarités à un
système plus simple et éventuellement linéaire. Dans les références [13] et [14], Brjuno
présente une étude de l'existence et de la convergence des formes normales
La normalisation du premier ordre correspond à la diagonalisation de la
partie linéaire ou tout au moins au passage à la forme de Jordan. Dans ce cas, l'analyse des
termes de la matrice de Jordan permet une étude préliminaire du comportement du système.
Hsu [36] et [37] a ainsi déterminé dans un cas particulier la frontière entre les divers
comportements du système.
Dans le cas de l'analyse des vibrations libres de systèmes hamiltoniens, la
méthode de la forme normale conduit naturellement à la notion de modes non-linéaires. Il est
alors plus facile d'étudier la stabilité orbitale du système et l'analyse des bifurcations du
système s'en trouve simplifiée. Dans le cas d'un système soumis à des forces extérieures
harmoniques, la méthode s'applique également à condition d'augmenter le nombre de degrés
de liberté du système.
La méthode de la forme normale est une méthode très générale capable de
décrire tous les types de comportement dynamique des systèmes avec des non-linéarités
régulières. Nous présenterons tout d'abord les fondements théoriques de la forme normale et
son extension aux modes non-linéaires. Dans une dernière partie, nous appliquerons cette
méthode au comportement du rotor avec ses non-linéarités comme il a été définit
précédemment.
11.4.1 THEORIE DE LA FORME NORMALE - MODES NON-LINEAIRES
Considérons le système d'équations différentielles ordinaires:
±Øj(X) i=1,...,n (2.39)
Chapitre 2 : Analyse non-linéaire 110