Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...
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11.4 LA METHODE DE LA FORME NORMALE<br />
La forme normale est une méthode qui perm<strong>et</strong> de calculer les solutions<br />
périodiques de systèmes <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong>s à plusieurs degrés de liberté. L'idée de la<br />
transformation normale a été proposée pour la première fois par Poincaré [65] puis reprise<br />
ensuite par de nombreux auteurs ( Birkhoff [9], Arnold [3], Moser [55], boss <strong>et</strong> Joseph<br />
[39],...). Elle consiste à effectuer un changement de variables <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong> qui perm<strong>et</strong> de<br />
passer <strong>d'un</strong> système d'équations différentielles ordinaires contenant des <strong>non</strong>-linéarités à un<br />
système plus simple <strong>et</strong> éventuellement <strong>linéaire</strong>. Dans les références [13] <strong>et</strong> [14], Brjuno<br />
présente une étude de l'existence <strong>et</strong> de la convergence des formes normales<br />
La normalisation <strong>du</strong> premier ordre correspond à la diagonalisation de la<br />
partie <strong>linéaire</strong> ou tout au moins au passage à la forme de Jordan. Dans ce cas, l'analyse des<br />
termes de la matrice de Jordan perm<strong>et</strong> une étude préliminaire <strong>du</strong> <strong>comportement</strong> <strong>du</strong> système.<br />
Hsu [36] <strong>et</strong> [37] a ainsi déterminé dans un cas particulier la frontière entre les divers<br />
<strong>comportement</strong>s <strong>du</strong> système.<br />
Dans le cas de l'analyse des vibrations libres de systèmes hamiltoniens, la<br />
méthode de la forme normale con<strong>du</strong>it naturellement à la notion de modes <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong>s. Il est<br />
alors plus facile d'étudier la stabilité orbitale <strong>du</strong> système <strong>et</strong> l'analyse des bifurcations <strong>du</strong><br />
système s'en trouve simplifiée. Dans le cas <strong>d'un</strong> système soumis à des forces extérieures<br />
harmoniques, la méthode s'applique également à condition d'augmenter le nombre de degrés<br />
de liberté <strong>du</strong> système.<br />
La méthode de la forme normale est une méthode très générale capable de<br />
décrire tous les types de <strong>comportement</strong> <strong>dynamique</strong> des systèmes avec des <strong>non</strong>-linéarités<br />
régulières. Nous présenterons tout d'abord les fondements théoriques de la forme normale <strong>et</strong><br />
son extension aux modes <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong>s. Dans une dernière partie, nous appliquerons c<strong>et</strong>te<br />
méthode au <strong>comportement</strong> <strong>du</strong> rotor avec ses <strong>non</strong>-linéarités comme il a été définit<br />
précédemment.<br />
11.4.1 THEORIE DE LA FORME NORMALE - MODES NON-LINEAIRES<br />
Considérons le système d'équations différentielles ordinaires:<br />
±Øj(X) i=1,...,n (2.39)<br />
Chapitre 2 : Analyse <strong>non</strong>-<strong>linéaire</strong> 110