Etude du comportement dynamique linéaire et non-linéaire d'un ...

11.3.3.4 Recomposition du signal temporel
Afin d'évaluer la qualité de l'approximation faite en ne conservant que les
deux premiers noyaux de Volterra, nous allons recomposer le signal temporel à partir de ces
deux noyaux et le comparer au résultat fourni par une méthode d'intégration temporelle des
équations du mouvement.
En utilisant la représentation de Volterra, la coordonnée modale associée au
mode de battement est donnée par:
qb(t)
=
f hi(t)f(t - T) dT+ J f , t)f(t - ti)f(t - T2) dT1 dT2 (2.33)
où h1 et h2 sont les transformées de Fourier inverse de H1 et H2 et f est la
force d'excitation sur le degré de liberté q. Etant donné que les noyaux de Volterra sont
calculés de manière discrète avec un pas Aco entre les valeurs - Wmax et 0max, le signal
temporel sera lui aussi obtenu de manière discrète avec un pas At tel que:
i - 2ir
2.2irWmax AwN
(2.34)
où N est le nombre de points où sont calculés H1 et H2. L'équation (2.33) peut
alors s'écrire sous forme discrétisée en posant t = k At
k k k
qb(k) hi(i)f(k - i) + h2(i ,j)f(k - i)f(k - j) (2.35)
i=1 i=li=1
Le signal temporel qb peut se décomposer en deux parties. La première résulte
uniquement du calcul à partir de H1(o)). Ce terme décrit la partie linéaire des équations du
mouvement et sera donc comparé au résultat de l'intégration temporelle des équations (2.30)
linéarisées. En fait, nous comparerons les densités spectrales de puissance des deux signaux
calculés ou bien par le noyau d'ordre i de Volterra ou bien par intégration temporelle des
équations du mouvement linéarisées. Nous étudierons les densités spectrales de puissance
sur la bande [ min max J dont les valeurs sont imposées par le choix de la discrétisation
initiale sur les noyaux. En effet, une fréquence nest correctement décrite que si la durée de la
simulation porte sur au moins 10 périodes. En adoptant ce critère, il vient:
ç _i0_ 10 _5Aw
imni - - et f 1 _NAw
tobç N At J 2 At 4 ir
Chapitre 2 : Analyse non-linéaire 105
(2.36)