5. KURSSI: Pyöriminen ja gravitaatio (FOTONI 5: PÄÄKOHDAT ...

yleisesti:liikemäärämomentti on vektorisuure, joka määritellään ristitulona:L = r×p = r×mv = mr×v .Hiukkasen massa on m, nopeus v, liikemäärä p= mvL ↑↑ωja r = hiukkasen paikkavektori eli etäisyys kiinteästäpisteestä O, jonka suhteen liikemäärämomenttia Lmääritetään (ks. viereinen kuva 1).Itseisarvona saadaan: L = mrv·sinθ,missä θ on r:n ja v:n välinen kulma eli θ = θ(r,v).Jos θ = 90 o eli r⊥ v (ks. kuva 2), niin L = mrvKoska v = ωr, niin L = mr 2 ω = Jω. Kuva 1.Ristitulo on esitetty taulukossa: MAOL s. 41 (38).Huom! Ristitulo on ylikurssia, jota ei ole välttämätön osata!Kappaleen PYÖRIMISMÄÄRÄ eli sisäinen liikemäärämomentti2kgmL= Jω yksikkö: [ L]=skgm(vrt. etenemisliikkeen liikemäärä: p= mv , [ p= ] )sVastaavuudet: L ↔ p, J ↔ m, ω ↔ v. Kuva 2.- pyörimismäärän säilymislaki: vapaan systeemin pyörimismäärä säilyy:L = Jω = vakio eli J1ω 1= J2ω2(vrt. p = mv=vakio eli m1v1= m2v2)Esim. taitoluistelijan piruetit, uimahyppääjän voltit: J muuttuu ω muuttuu, koska L = Jω = vakio.Hitausmomentti J on suoraan verrannollinen massaan ja sen etäisyydenneliöön pyörimisakselista; J ~ mr 2Esim. Taitoluistelija pienentää hitausmomenttiaan J (massapisteidenetäisyys r pyörimisakselista pienenee), jolloin kulmanopeus ωkasvaa, koska L = Jω on vakio.(J 2 < J 1 ω 2 > ω 1 , koska J 1 ω 1 = J 2 ω 2 ).Samoin menettelee uimahyppääjä.* Miksi viivotinta on helpompi pyörittää keskeltä kuin päästä?* Miksi kissa putoaa aina jaloilleen?* Kumpi pyörii paremmin raaka vai keitetty kananmuna? Miksi?* Miksi helikopterissa on kaksi potkuria?IMPULSSIMOMENTTI eli liikemäärämomenttiI M= M ⋅ ∆t( vrt. impulssi I = F ⋅ ∆t)IMPULSSIMOMENTTIPERIAATE: impulssimomentti = pyörimismäärän muutos eli(vrt. etenemisliikkeessä impulssi = liikemärän muutos eli I = ∆p)Osoitetaan seuraavaksi, ettäI M= ∆LI M= ∆L

HEILURIT:φ o- matemaattinen heiluri = painottoman langan päässä heilahteleva massapiste- esim. ohuen langan varassa heilahtelevapieni pallo- l = heilurin pituus ( = pallon keskipisteen etäisyys ripustuspisteestä) l l l- φ = heilahduskulma eli poikkeutuskulma ja φ o on sen suurin arvo.O on tasapainoasema ja Aja B ovat heilurin ääriasemat. A BAmplitudi on heilurin suurin poikkeama tasapainoasemasta, joka onOheilahduskulmaa φ o vastaavaa kaarenpituus (ks. Kuva 3). Kuva 3.Heiluriin vaikuttavat voimat ovat painovoima G= mgalaspäin sekälangan jännitysvoima T , joka on langan suuntainen. Jaetaan painovoimaG= mgkomponentteihin normaalikomponenttiin G n ja tangenttikomponenttiin G t .⎧Gt= mgsinϕφ Heilurin liikeyhtälö G + T=ma. Komponenteille pätee ⎨.⎩Gn= mgsinϕl Liikeyhtälö jaetaan radan tangentin ja normaalin suuntaisiin⎧(n)T - mgcosϕ= manT m komponentteihin: ⎨⎩(t)mgsinϕ= matG t φ Jos kulma φ on pieni ja annettu radiaaneissa, silloin päteexxG n sin ϕ ≈ϕ = . Suuntasopimus huomioiden saadaanlmgmgφ G G t= − x , missä kerroin on vakio. G t on siisll- + likimain harmoninen voima, kun poikkeama x on pieni.Kuva 4. Heiluripalloon kohdistuvan Maan vetovoiman G jakaminen komponentteihin G t jaG t on siis likimain suoraan verrannollinen poikkeamaan tasapainoasemasta ja on poikkeamaannähden vastakkaissuuntainen, kun poikkeama tasapainoasemasta on pieni. G t on siis likimainmgharmoninen voima. Heiluri on harmoninen värähtelijä, jonka jousivakio on k= .lMatemaattisen heilurin liike on harmonista värähdysliikettä. Heilahdusaika T saadaan harmonisenmvärähdysliikkeen jaksonajan suureyhtälöstä: T= 2π, missä m on värähtelijän massa ja k onkm ljousivakio. Näin saadaan T= 2π = 2π. Siis heilahdusaika Tmg/l gl= 2π.gHeilurin tangenttikiihtyvyys on liikeyhtälön mukaan a t= gsinϕ.a t on suurin ääriasemissa ja nolla tasapainoasemassa. Heilurin kulmakiihtyvyydeksi saadaana t gsinϕα = = . Heiluri liikkuu pitkin ympyrän kaarta ja sen normaalikiihtyvyys onl l2v Tan= = − gcosϕ .l mG n .

- matemaattisen heilurin• normaalikiihtyvyys a n on nolla ääriasemissa, jolloin heilurin nopeus on nolla• normaalikiihtyvyys a n on suurin tasapainoasemassa, jolloin heilurin ratanopeus on suurinHuom! Heilurille pätee mekaanisen energian säilymislaki: E p + E k = vakio2 mgh= 12mv- KARTIOHEILURI- JÄYKKÄ HEILURI eli fysikaalinen heiluriKAPPALEEN YLEINEN LIIKE- ETENEMISEN JA PYÖRIMISEN RIIPPUMATTOMUUS:- etenemisen liikeyhtälö: F = ma- pyörimisen liikeyhtälö: M = Jα- Kappaleen liike-energia = etenemisliikkeen liike-energia + pyörimisenergiaE = E + E22= mv + JωktrrotE k = liike-energia eli kineettinen energiaE tr = etenemisen liike-energia eli translaatioenergiaE rot = pyörimisliikkeen liike-energia eli rotaatioenergia12122- Steinerin sääntö : J = J o+ mr (ks. oppikirja s. 88)Kun m-massaisen kappaleen hitausmomentti massakeskipisteen kautta kulkevan akselin suhteen onJ o , on hitausmomentti tämän kanssa yhdensuuntaisen, etäisyydellä r massakeskipisteestä olevaakselin suhteen J = J o + mr 2 .- VIERIMINEN:- KAPPALE VIERII = ETENEE JA PYÖRII- vierimisehto: v= rωja a= rαVierivän kappaleen liike-energia- vierimisliikkeen energia (etenemisliikkeen energia + pyörimisliikkeen energia);1 2 1 2E k = E tr + E r =2mv +2Jω- vieriminen kaltevalla alustallaωhv 0-taso: E p = 0- Mekaanisen energian säilymislaki (ei liikevastuksia; W = 0):oletus: kpl alussa levossa: v = 0, ω = 0.1 2 1 2Ep= Etr+Eroteli mgh=2mv +2Jω- yleisesti; mekaanisen energian säilymislaki:a a a l l l(a = alussa, l = lopussa)E + E + E = E + E + EGRAVITAATIO; HEITTOLIIKEa) vaakaliike tasaista: nopeus v x = vakiob) pystyliike tasaisesti kiihtyvää: kiihtyvyys a y = -g = -9,81 m/s 2 = vakio2- 1) putoaminen: v= gt , h= 1gt21 2- 2) pystysuora heittoliike: v = vo- gt , h = vot−2gt- 3) vino heittoliike: vaakaliike tasaista ja pystyliike tasaisesti kiihtyvää;ptrrotptrrot

Kuva 1. Vinon heittoliikkeen ratakäyrä ja Kuva 2. Vino heittoliikenopeusvektoreita komponentteihinkoordinaatistossa.jaettuna. v x säilyy samana, muttaO = heittopistev y muuttuu.A = lakipistev o = alkunopeusα o = lähtökulma⎧vAlkunopeuden komponentit (t = 0): ⎨⎩vNopeuden komponentit hetkellä t:⎧v⎨⎩vxyoxoy= v cosαo= v sinα= vo= v cosαoosinαoooo− gth = lakikorkeusR = kantama.(oletus: g vakio, ilmanvastus pieni)Paikan (sijainnin) koordinaatit hetkellä t:⎧x= vocosαot⎨⎩y= vosinαo⋅ t −12gt2• vaakaliike tasaista: v ox = v o cosα o = v x = vakio.• pystyliike tasaisesti kiihtyvää: a y = -g.Energian säilymislaki soveltuu heittoliikkeen tutkimiseenNOUSUAIKA:LAKIKORKEUS:thv0sinαo2v= LENTOAIKA: T=gsingoα o2 22vosinαovosin2αh= KANTAMA: R=2ggo- Keplerin lait (3 kpl) (ks. oppikirja s. 120-122)

- NEWTONIN PAINOVOIMALAKI eli YLEINEN VETOVOIMALAKI (gravitaatiolaki):m1m2- F = G ⋅2r- F = massojen m 1 ja m 2 välinen vetovoima- r = kappaleiden keskipisteiden etäisyys- G = yleinen gravitaatiovakio = χ, f (MAOL s. 71 (71)).- gravitaatio on yleinen kappaleiden välinen vetovoima- paino = voima, jolla Maa vetää kappaletta puoleensa; G = mg, g = putoamiskiihtyvyys = 9,81 m/s 2- gravitaatiokenttä; voimakkuus g = F/m- LIIKE GRAVITAATIOKENTÄSSÄ:Newtonin kuutestiKIERTOLAINEN YMPYRÄRADALLAEsim. satelliitti, jonka massa on m kiertää maata (massa M) ympyräradalla,jonka säde on r liikeyhtälö:F= ma n(dynamiikan peruslaki)- gravitaatiovoima = keskeisvoima2mM vG ⋅ = mM2r rm- SOVELLUKSIA:taivaankappaleiden massojen määritys, ratanopeus, kiertoaika, korkeus, … kaksoistähdet- SUURET SÄILYMISLAIT TAIVAANKAPPALEIDEN LIIKKEISSÄ:- Liikemäärä, pyörimismäärä, mekaaninen kokonaisenergia:1 2 GmME =2mv − = vakior- E < 0: rata ellipsi (ympyrä), E > 0: rata hyperbeli, E = 0: rata paraabeli- KOSMISET NOPEUDET ELI PAKONOPEUDET:1. pakonopeus (kiertää Maata) = 7,9 km/s, 2. pakonopeus (pois Maasta) = 11,2 km/s3. pakonopeus (pois Aurinkokunnasta) = 42,2 km/s. (ks. oppikirja, s. 140-142)- avaruusluotaimet, satelliittipaikantaminen- mekaniikan kaavat (MAOL s. 116-119 (111-114))a nrv

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^MAOL –taulukko: TÄRKEITÄ SIVUJA:( uusi keltainen MAOL ja suluissa vihreä vanha MAOL)-s. 66(66): SI-järjestelmän perussuureet ja yksiköt + määritelmät-s. 67(67): kerrannaisyksiköiden etuliitteet ja johdannaisyksiköt-s. 68(68): lisäyksiköt, mm. 1 a ≈ 365 d, 1 litra = 1 dm 3 , 1 t = 1000 kg = 1 Mg, …-s. 69-70(69-70): muuntokertoimia, mm. 1 litra = 1 dm 3 = 0,001 m 3 , …-s. 71(71): luonnonvakioita, mm. gravitaatiovakio χ, G = 6,67259⋅10 -11 Nm 2 /kg 2 , …-s. 109-115(105-110): tähtitiede, mm. Maan massa, säde, etäisyys Auringosta, …-s. 32(32): absoluuttinen kulmayksikkö-s. 116-119(113-114): hitausmomentteja !-s. 116-114 (111-114): MEKANIIKAN KAAVOJA + tunnukset ja yksiköt!!!^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^