Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2007 1 ...

27. Olkoon f(x) =lnx, alkutilanne x 0 = e ja muuttujan x muutos △x =10. Mitä on tällöin funktion todellinen muutos △f ja differentiaalidf .Vast: △f = 1,5430 df = 3,678728. Onko funktiojatkuva ja derivoituva.{ x 2 + y, x < 1f(x, y) =2x +2y, x ≥ 1Vast: On muualla paitsi kohdassa x =1.29. Määritä f x ja f y ja mahdollisesti f z , kuna) f(x, y) =2x 5 y − xy 3b) f(x, y) =x y + y xc) f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) 2d) f(x,y,z)=2xy 2 (y 3 x + e 2z ) 2 .30. Määritä funktion f(x, y) =x 2 y 5 muuttujan x muutosta 0.5 ja muuttujany muutosta -0.2 vastaava kokonaisdifferentiaali df pisteessä (1,2).Laske myös funktion arvon todellinen muutos ∆f.Vast: df =16 ∆f =10.531. a) Olkoon f(x, y) =x 2 − 3xy 2 , missä x = uv ja y = u 2 + v 2 .Määritä ∂f∂v .b) Määritä ∂z∂xja∂z∂yja niiden arvo pisteessä (0,0), kun z = f(x, y)toteuttaa yhtälön x 2 z + y 2 z + z 2 =1.Huom: Implisiittinen derivointi.c) Laske funktion f(x,y,z)=x 3 e 3y2 + z 2 toisen kertaluvunosittaisderivaatat.Vast: b) 0