13.3.2002 1. Olkoon W se R 3:n aliavaruus, jonka kanta on ([ 1 0 ,[ 0

Avoin yliopistoLineaarialgebra IHarjoitus 8 (Ratkaisut)<strong>13.3.2002</strong><strong>1.</strong> <strong>Olkoon</strong> W <strong>se</strong> R 3 :n <strong>aliavaruus</strong>, <strong>jonka</strong> <strong>kanta</strong> on( [√5 1 2] T [0 √5 , − √5 2 1] ) T0 √5Laske proj W (v) vektoreillea) v = [ 3 4 −1 ] T b) v = [ 2 1 3 ] T c) v = [ −5 0 1 ] TRatkaisu. Merkitäänw 1 = [ 1 √5 02 √5] T, w2 = [ − 2 √501 √5] TKoska (w 1 , w 2 ) on W :n ortonormaali <strong>kanta</strong>, niinproj W (v) = 〈v, w 1 〉w 1 + 〈v, w 2 〉w 2 = (v · w 1 )w 1 + (v · w 2 )w 2Tätä käyttäen saadaan(a)(b)(c)proj W (v) =proj W (v) =proj W (v) =(3 ·= 1 √5⎡⎢⎣(2 ·= 8 √5⎡⎢⎣(−5 ·⎡= −√ 3 ⎢⎣ 51√5+ 4 · 0 − 1 ·⎤ 1√50⎥2√5⎡⎦ − √ 7 ⎢⎣ 51√5+ 1 · 0 + 3 ·⎤ 1√50⎥2√5⎡⎦ − √ 1 ⎢⎣ 51√5+ 0 · 0 + 1 ·√1⎤50⎥√25⎡⎦ + √ 11 ⎢⎣ 5) (2√ w 1 + 3 · (−√ 2 ) + 4 · 0 − 1 ·5 5− 2 √501 √5⎤⎥⎦ =⎡⎢⎣15025⎤⎥⎦ +⎡⎢⎣1450− 7 5⎤⎡⎥ ⎢⎦ = ⎣1550− 5 5) (2√ w 1 + 2 · (−√ 2 ) + 1 · 0 + 3 ·5 5− 2 √501 √5⎤⎥⎦ =⎡⎢⎣850165⎤⎥⎦ +⎡⎢⎣250− 1 5⎤⎥⎦ =⎡⎢⎣1050155⎤1√5)w 2⎡⎥ ⎢⎦ = ⎣⎤⎥⎦ =) (2√ w 1 + −5 · (−√ 2 ) + 0 · 0 + 1 ·5 5− 2 √501√5⎤⎥⎦ =⎡⎢⎣− 3 50− 6 5⎤⎥⎦ +⎡⎢⎣− 22 50115⎤⎥⎦ =⎡⎢⎣− 25 505530−1⎤⎥⎦1√5)w 2⎤⎡ ⎤2⎢ ⎥⎣ 0 ⎦31√5)w 2⎥ ⎢⎦ = ⎣⎡ ⎤−5⎥0 ⎦12. <strong>Olkoon</strong> W <strong>se</strong> R 3 :n <strong>aliavaruus</strong>, <strong>jonka</strong> <strong>kanta</strong> on([ 0 1 0 ] T , [ 1 √5 02 √5] T)ja olkoon v = [ −1 0 1 ] T . Laske d(v, W ) (v:n etäisyys W :stä).1

Ratkaisu. Merkitäänw 1 = [ 0 1 0 ] T , w 2 = [ 1 √5 02 √5] TKoska (w 1 , w 2 ) on W :n ortonormaali <strong>kanta</strong>, niinEdelleenproj W (v) = 〈v, w 1 〉w 1 + 〈v, w 2 〉w 2 = (v · w 1 )w 1 + (v · w 2 )w 2(1= (−1 · 0 + 0 · 1 + 1 · 0)w 1 + (−1) · √ + 0 · 0 + 2 )√5 5= 1 √5⎡⎢⎣⎤ 1√50⎥2√5d(v, W ) = ‖v − proj W (v)‖ ==√62 + 3 25 2 = 3 5√5⎦ =⎡⎢⎣15025⎤⎥⎦∥∥[ −1 0 1 ] T − [ 1 5025 ]T ∥ ∥ ∥ =∥ ∥∥[ −65035 ]T ∥ ∥ ∥3. <strong>Olkoon</strong> u = (3, 2, −1), v = (0, 2, −3) ja w = (2, 6, 7). Laskea) v × w b) u × (v × w) c) (u × v) × wd) (u × v) × (v × w) e) u × (v − 2w) f) (u × v) − 2wRatkaisu. Merkitään u = 3i + 2j − k, v = 2j − 3k ja w = 2i + 6j + 7k.(a)i j k∣ ∣ ∣ ∣∣∣v × w =0 2 −3∣ 2 6 7 ∣ = 2 −3∣∣∣ 6 7 ∣ i + −3 0∣∣∣ 7 2 ∣ j + 0 22 6 ∣ k= (14 + 18)i + (−6 − 0)j + (0 − 4)k = 32i − 6j − 4k(b)i j k∣ ∣ ∣ ∣∣∣u × (v × w) =3 2 −1∣ 32 −6 −4 ∣ = 2 −1∣∣∣ −6 −4 ∣ i + −1 3∣∣∣ −4 32 ∣ j + 3 232 −6 ∣ k= (−8 − 6)i + (−32 + 12)j + (−18 − 64)k = −14i − 20j − 82kTarkistus:u × (v × w) = (u · w)v − (u · v)w= (6 + 12 − 7)(2j − 3k) − (4 + 3)(2i + 6j + 7k)= 11(2j − 3k) − 7(2i + 6j + 7k)= 22j − 33k − 14i − 42j − 49k = −14i − 42j − 82k2

c) Edelleeni j k∣ ∣ ∣ ∣∣∣u × v =3 2 −1∣ 0 2 −3 ∣ = 2 −1∣∣∣ 2 −3 ∣ i + −1 3∣∣∣ −3 0 ∣ j + 3 20 2 ∣ k= (−6 + 2)i + (0 + 9)j + (6 − 0)k = −4i + 9j + 6kjosta <strong>se</strong>uraai j k∣ ∣ ∣ ∣∣∣(u × v) × w =−4 9 6∣ 2 6 7 ∣ = 9 6∣∣∣ 6 7 ∣ i + 6 −4∣∣∣ 7 2 ∣ j + −4 92 6 ∣ kTarkistus:= (63 − 36)i + (12 + 28)j + (−24 − 18)k = 27i + 40j − 42k(u × v) × w = (u · w)v − (w · v)u= (6 + 12 − 7)(2j − 3k) − (12 − 21)(3i + 2j − k)= 11(2j − 3k) + 9(3i + 2j − k)= 22j − 33k + 27i + 18j − 9k = 27i + 40j − 42k(d)i j k∣ ∣ ∣ ∣∣∣(u × v) × (v × w) =−4 9 6∣ 32 −6 −4 ∣ = 9 6∣∣∣ −6 −4 ∣ i + 6 −4∣∣∣ −4 32 ∣ j + −4 932 −6 ∣ kTarkistus:e) Edelleen= (−36 + 36)i + (6 · 32 − 16)j + (24 − 9 · 32)k = 176j − 264k= 88(2j − 3k).(u × v) × (v × w) = [(u × v) · w]v − [(u × v) · v]w = [(u × v) · w]v= ((−4) · 2 + 9 · 6 + 6 · 7)v = 88vv − 2w = 2j − 3k − 2(2i + 6j + 7k) = −4i − 10j − 17k,josta <strong>se</strong>uraai j k∣ ∣ ∣ ∣∣∣u × (v − 2w) =3 2 −1∣ −4 −10 −17 ∣ = 2 −1∣∣∣ −10 −17 ∣ i + −1 3∣∣∣ −17 −4 ∣ j + 3 2−4 −10 ∣ k= (−34 − 10)i + (4 + 3 · 17)j + (−30 + 8)k = −44i + 55j − 22k= 11(−4i + 5j − 2k)3

Tarkistus:u × (v − 2w) = u × v − 2u × wi j k∣ ∣ ∣ ∣∣∣u × w =3 2 −1∣ 2 6 7 ∣ = 2 −1∣∣∣ 6 7 ∣ i + −1 3∣∣∣ 7 2 ∣ j + 3 22 6 ∣ k= (14 + 6)i + (−2 − 21)j + (18 − 4)k = 20i − 23j + 14kSiisu × v − 2u × w = −4i + 9j + 6k − 40i + 46j − 28k = −44i + 55j − 22k(f)(u × v) − 2w = −4i + 9j + 6k − 2(2i + 6j + 7k)= −4i + 9j + 6k − 4i − 12j − 14k = −8i − 3j − 8k4. Laske pisteen [ −3 −1 1 ] T etäisyys tasosta 2x 1 − x 2 + x 3 + 3 = 0.Ratkaisu. Kaavalla. Merkitään p = (−3, −1, 1) ja T : 2x 1 − x 2 + x 3 + 3 = 0.Sovelletaan esimerkin 3.5.10 b) kaavaa sivulla 70. Silloind(p, T ) =|2(−3) − (−1) + 1 + 3|√22 + (−1) 2 + 1 2 = 1 √6Projektiona. <strong>Olkoon</strong> q jokin tason T piste esimerkiksi q = (0, 0, −3). Silloin p −q = −3i−j+k−(−3k) = −3i−j+4k. <strong>Olkoon</strong> W = {(x 1 , x 2 , x 3 ) | 2x 1 −x 2 +x 3 = 0},jolloin W ⊥ = {tn | t ∈ R} ja n = 2i − j + k on tason T eräs normaali. Silloind(p, T ) = d(p − q, W ) = ‖ proj W ⊥(p − q)‖Nyt (n/‖n‖) on W ⊥ :n ortonormaali <strong>kanta</strong>, jotenproj W ⊥(p − q) =(p − q) · n‖n‖ 2 n =(−3)2 + (−1)(−1) + 4 · 1n = − 1 66 nSiisd(p, T ) = ‖ − 1 6 n‖ = 1 6 ‖n‖ = 1 √6.5. Määrää <strong>se</strong>n tason yhtälö, joka sisältää suoran x = −1 + 3t, y = 5 + 2t, z = 2 − t(t ∈ R) ja on kohtisuorassa tasoa 2x − 4y + 2z = 9 vastaan.4

Ratkaisu. Kysytyn tason virittäjävektorit ovat v = 3i+2j−k (tasossa olevan suoransuuntavektori) <strong>se</strong>kä w = 2i − 4j + 2k (kohtisuoran tason normaali). Silloin kysytyntason normaali n on vektorin v × w suuntainen.i j k∣ ∣ ∣ ∣∣∣v × w =3 2 −1∣ 2 −4 2 ∣ = 2 −1∣∣∣ −4 2 ∣ i + −1 3∣∣∣ 2 2 ∣ j + 3 22 −4 ∣ k= (4 − 4)i + (−2 − 6)j + (−12 − 4)k = −8j − 16kVoidaan valita n = i + 2j. Toisaalta valit<strong>se</strong>malla esimerkiksi t = 0 suoran yhtälössäsaadaan yksi tason piste p = (−1, 5, 2). Näin ollen kysytyn tason yhtälö normaalimuodossaonn · (x − p) = 0 ⇐⇒ (j + 2k) · [(x 1 + 1)i + (x 2 − 5)j + (x 3 − 2)k] = 0⇐⇒ x 2 − 5 + 2(x 3 − 2) = 0⇐⇒ x 2 + 2x 3 − 9 = 0.6. Laske suorien l 1 ja l 2 välinen (lyhin) etäisyys, kunl 1 : x 1 = t + 8, x 2 = 2t + 2, x 3 = −t + 5 (t ∈ R)l 2 :x 1 = 2s + 1, x 2 = s + 2, x 3 = 5 (s ∈ R).Ratkaisu. Suoran l 1 suuntavektori on v = i + 2j − k ja suoran l 2 suuntavektoriw = 2i + j. Silloin vektori v × w on kohtisuorassa molempia suoria vastaan eli on<strong>se</strong>llai<strong>se</strong>n suoran suuntavektori, joka leikkaa suoria l 1 ja l 2 kohtisuorasti (edellyttäenettä v ∦ w). Suorien l 1 ja l 2 välinen (lyhin) etäisyys on <strong>se</strong>lvästi niiden pisteidenvälinen etäisyys, joissa ky<strong>se</strong>inen kohtisuora leikkaaja kohtaa suorat l 1 ja l 2 (voi ollamyös = 0 jos l 1 ja l 2 leikkaavat toi<strong>se</strong>nsa). Nyti j k∣ ∣ ∣ ∣∣∣v × w =1 2 −1∣ 2 1 0 ∣ = 2 −1∣∣∣ 1 0 ∣ i + −1 1∣∣∣ 0 2 ∣ j = 1 22 1 ∣ k = i − 2j − 3kMerkitään W = {tn | t ∈ R}, n = i − 2j − 3k. Olkoot p 1 ∈ l 1 ja p 2 ∈ l 2 . Tällöinsuorien l 1 ja l 2 välinen etäisyys d(l 1 , l 2 ) on ilmei<strong>se</strong>stid(l 1 , l 2 ) = ‖ proj W (p 1 − p 2 )‖Valitaan esimerkiksi p 1 = (8, 2, 5) (t = 0) ja p 2 = (1, 2, 5)) (s = 0), jolloin p 1 −p 2 =7i. Koska W :n ortonormaali <strong>kanta</strong> on (n/‖n‖), niind(l 1 , l 2 ) = |(p 1 − p 2 ) · n|‖n‖= 7 √14=√142 .7. Laske pisteen (1, 0, −1, 1) ∈ R 4 (lyhin) etäisyys avaruuden R 4 suorasta{(0, 2, 1, 1) + t(−1, 1, 0, 2) | t ∈ R}.5

Ratkaisu. Merkitään p = (1, 0, −1, 1), q = (0, 2, 1, 1), l = {(0, 2, 1, 1)+t(−1, 1, 0, 2) |t ∈ R} ja W = {t(−1, 1, 0, 2) | t ∈ R}. Silloind(p, l) = d(p − q, W ) = ‖(p − q) − proj W (p − q)‖()1Nyt p − q = (1, −2 − 2, 0) ja W :n ortonormaali <strong>kanta</strong> on √6(−1, 1, 0, 2) , jolloin(1, −2, −2, 0) · (−1, 1, 0, 2)d(p, l) = ‖(1, −2, −2, 0) − (−1, 1, 0, 2)‖6= ‖(1, −2, −2, 0) + 1 √302 (−1, 1, 0, 2)‖ = ‖(1 2 , −3 2 , −2, 1)‖ = 26