tutkielma.pdf, 350 kB - Helsinki.fi

Laudatur-tutkielmaHAHMOTTAVA KOKEELLISUUS VAIHTOVIRTAPIIRIENOPETUKSESSAJorma Tahvanainen2001Ohjaaja:Prof. Heimo SaarikkoTarkastajat: Prof. Heimo SaarikkoProf. emer. Kaarle Kurki-SuonioHELSINGIN YLIOPISTOFYSIIKAN LAITOSPL 64 (Väinö Auerinkatu 11)00014 Helsingin yliopisto

Sisällysluettelo1 JOHDANTO.................................................................................................................................32 EMPIIRINEN KÄSITTEENMUODOSTUS JA HAHMOTTAVA LÄHESTYMISTAPA........42.1 FYSIIKAN KÄSITTEENMUODOSTUS ...............................................................................................42.2 FYSIIKAN KÄSITERAKENNE .........................................................................................................52.3 SUUREET PROSESSEINA ...............................................................................................................72.4 HAHMOTTAVA LÄHESTYMISTAPA................................................................................................83 TUTKIELMAN KÄSITTEELLISET TAVOITTEET JA TUTKIMUSONGELMAT ............104 VIRTAPIIRI-ILMIÖITÄ ESITTÄVIEN SUUREIDEN SYNTYPROSESSI...........................114.1 SÄHKÖVIRTA............................................................................................................................114.2 JÄNNITE ...................................................................................................................................134.3 RESISTANSSISTA IMPEDANSSIIN................................................................................................154.4 SÄHKÖVIRRAN TUTKIMISEN JA SELITTÄMISEN PERUSTANA OLEVA TIETORAKENNE......................175 VAIHTOVIRTAPIIREJÄ HAHMOTTAVA KOKEELLISUUS.............................................185.1 VIRTAPIIRI ...............................................................................................................................185.2 VAIHTOJÄNNITTEEN JA –VIRRAN PERUSHAHMOTUSTA................................................................195.3 KIRCHHOFFIN LAIT VAIHTOVIRTAPIIRISSÄ .................................................................................225.4 VASTUS VAIHTOVIRTAPIIRISSÄ..................................................................................................255.5 JÄNNITTEEN JA SÄHKÖVIRRAN TEHOLLISET ARVOT ....................................................................275.6 OHMIN LAIN YLEISTYS..............................................................................................................295.7 KONDENSAATTORI VAIHTOVIRTAPIIRISSÄ..................................................................................315.7.1 Kondensaattorin impedanssi ............................................................................................315.7.2 Hetkellinen jännite, sähkövirta ja teho kondensaattorissa.................................................345.8 KÄÄMI VAIHTOVIRTAPIIRISSÄ ...................................................................................................365.8.1 Käämin impedanssi..........................................................................................................365.8.2 Hetkellinen jännite, sähkövirta ja teho käämissä ..............................................................395.9 KONDENSAATTORI- JA KÄÄMISYSTEEMIEN IMPEDANSSIT ...........................................................425.9.1 Kondensaattoreiden rinnan- ja sarjaankytkentä................................................................425.9.2 Ideaalikäämien rinnan- ja sarjaankytkentä.......................................................................435.9.3 Reaalisten käämien rinnan- ja sarjaankytkentä.................................................................445.10 RESONANSSI VAIHTOVIRTAPIIRISSÄ.......................................................................................455.11 VÄRÄHTELYPIIRI..................................................................................................................475.12 VÄRÄHTELYPIIRIEN RESONANSSI...........................................................................................485.13 KÄYTETYT VÄLINEET ...........................................................................................................496 PÄÄTELMIÄ.............................................................................................................................497 VIITTEET..................................................................................................................................502

1 JohdantoTämä tutkielma kuuluu didaktisen fysiikan tieteenalaan. Siten tutkielman tavoitteenaon fysiikan käsitteellisen ja prosessuaalisen rakenteen analysoinnin avulla etsiä ratkaisujafysiikan – tässä tapauksessa vaihtovirtapiirien – opetuksen ongelmiin. [4]Koska suurin osa yhteiskuntamme sähkölaitteista ja erityisesti kodinkoneista toimiivaihtovirralla, on perusteltua, että lukion fysiikan opinnoissa tutustutaan vaihtovirtapiireihin.Opetushallituksen asiakirjassa Lukion opetussuunnitelman perusteet 1994[1, s. 79] todetaan fysiikan opintoihin kuuluvista keskeisistä sisällöistä mm. seuraavasti:” Sähkö. Syvennetään sähköön liittyvien ilmiöiden, käsitteiden ja tekniikan hallintaa. Tutkitaan erilaisiavirtapiirejä, tutustutaan mittaustekniikkaan ja perehdytetään sähköturvallisuuteen.Sähkömagnetismi. Tutkitaan kokeellisesti sähkömagneettisia ilmiöitä, kuten sähkömagneettinen induktio,muuttuvat kentät sekä sähköenergian tuottaminen ja siirtäminen. Syvennetään näihin liittyvänkäsitteistön hallintaa.”Opetushallituksen julkaisemassa koulukohtaisten opetussuunnitelmien laadintaahelpottamaan tarkoitetussa oppaassa Fysiikka ja kemia opetussuunnitelmissa [12, s. 70]Meisalo ja Lavonen kirjoittavat lukion sähkömagnetismin kurssista seuraavasti:”Kurssilla syvennetään sähkömagneettisten ilmiöiden ja käsitteistön hallintaa. Kurssilla tutkitaansähkömagneettista induktiota, muuttuvia kenttiä ja sähköenergian tuottamista ja siirtämistä sähkövirranavulla.Sähkömagnetismi kurssiin voisivat kuulua seuraavat sisältöalueet:- magneettiset perusilmiöt, magneetit, virtajohdinten välinen voima, magneettivuon tiheys, magneettikentänaiheuttama voima ja momentti,- aine magneettikentässä,- sähkömagneettinen induktio, induktiolaki, induktiolain sovelluksia, induktanssi,- vaihtovirtapiirit,- sähkömagneettinen säteily, säteilyn synty, värähtelypiiri,- röntgensäteily, röntgendiffraktometria.”Näistä niukkasanaisista ja avoimista luonnehdinnoista saa sen vaikutelman, ettävaihtovirtapiirit ovat Sähkömagnetismi-kurssin eräs vähäinen osa. Oppikirjantekijätnäyttävät kuitenkin olevan yksimielisiä vaihtovirtapiirien merkityksestä ja siitä kuinkaopetussuunnitelman perusteita tulee soveltaa. Kolmea yleisimmin käytettyä lukion oppikirjaa[2, 8, 11] selaamalla havaitsee, että sähkömagnetismin kurssista on sivumääräisestiomistettu vaihtovirtailmiöille noin 30 – 40 %. Lisäksi kirjat sisältävät oleellisestisamat oppisisällöt; lähestymistavat ja painotukset luonnollisesti vaihtelevat.Ylioppilastutkintojen fysiikan kokeet sisälsivät vuosina 1995 – 2001 yhteensä 206tehtävää, joista 24 eli 12 % liittyivät Sähkömagnetismi-kurssin sisältöihin. Näistä noinkolmasosa eli 7 tehtävää käsitteli vaihtovirtapiirejä. Tätä useammin tehtävissä käsiteltiinmagneettikentän ja virtajohtimen vuorovaikutusta sekä sähkömagneettista induktiotasovelluksineen.Keskusteluissa, joita tutkielman kirjoittaja on käynyt lukiolaisten kanssa, hänelle onsyntynyt se käsitys, että ne opiskelijat, joiden algebrallisten lausekkeiden lukutaito onhyvä, pitävät vaihtovirtapiirejä käsitteleviä laskutehtäviä helppoina ratkaista. Heille tehtävienratkaisu on ”pelkkää kaavoihin sijoittamista”. Vaihtovirtapiirien toiminnan ymmärtäminensen sijaan tuntuu tuottavan opiskelijoille vaikeuksia. Tämä paljastuu, kunheille esittää esimerkiksi seuraavanlaisia kysymyksiä: ”Vastustaako käämi enemmäntasa- kuin vaihtovirran kulkua ja miksi? Mitä yhteistä ja mitä eroa on virtapiirin impedanssillaja resistanssilla?”3

Näitä havaintoja selittänee Suomen kouluissa fysiikan opetusta hallitseva teoreettisenlähestymistavan perinne, joka painottaa laskuteknisiä valmiuksia ilmiöiden ymmärtämisenkustannuksella. Tähän ongelmaan kirjoittaja etsii vastausta fysiikan opetuksenhahmottavasta lähestymistavasta, jota esitellään tutkielman luvussa 2.Kirjoittaja ei liene ainoa opettaja, jonka opetustyötä on vaikeuttanut vaihtovirtapiireihinliittyvien tietojen, mielikuvien, mahdollisten demonstraatioiden ja niiden opetustarkoitustenjäsentymättömyys. Siksi tutkielman luvussa 4 pyritään luomaan vaihtovirtapiirejäesittävästä teoriasta hyvin jäsennelty kokonaisuus ja luvussa 5 tähän analyysiinperustuva oppimista tukeva empiirinen kokonaisuus.2 Empiirinen käsitteenmuodostus ja hahmottava lähestymistapaHahmottava lähestymistapa on fysiikan opettamisen didaktinen periaate, joka onsyntynyt Kaarle ja Riitta Kurki-Suonion Helsingin yliopiston fysiikan laitoksella tekemänopetus- ja tutkimustyön tuloksena. Hahmottavan lähestymistavan perusteellisinesitys löytyy Kurki-Suonioiden kirjasta Fysiikan merkitykset ja rakenteet [5].Hahmottava lähestymistapa perustuu siihen oletukseen, että fysiikan käsitteenmuodostusja oppiminen ovat rinnasteiset prosessit: tutkija luo yleistä tietoa, oppija luo tietoaitselleen [5, s. 143]. Siksi sen ymmärtämiseksi on syytä ensin tarkastella fysikaalisentiedon käsitteellistä ja prosessuaalista rakennetta.2.1 Fysiikan käsitteenmuodostusTieteellisten käsitteiden muodostamisen, kehittämisen ja täsmentämisen prosessiakutsutaan tieteelliseksi käsitteenmuodostukseksi. On esitetty, että tieteellisen käsitteenmuodostuksentavoitteina ovat yksinkertaisuus, selvyys, yleisyys ja totuus (Whewell1847) sekä teoreettinen hedelmällisyys (Hempell 1947), [13, s. 153-155]. Nämä piirteetovat havaittavissa erityisesti fysikaalisessa käsitteenmuodostuksessa.Fysiikan käsitteenmuodostus tähtää luonnon käsitteelliseen jäsentämiseen ja luonnonilmiöiden ymmärtämiseen. Käsitteenmuodostus alkaa havainnoista ja etenee kohtiteoriaa. Havaintojen kohteena ovat luonnon subjektit ja tapahtumiset: oliot ja ilmiöt.Tavoitteena on luoda mielikuva siitä, mitkä oliot ilmiöön osallistuvat, mitä ilmiössätapahtuu, millaisia havaittavia ominaisuuksia olioilla ja ilmiöllä on ja mitkä ovat ilmiönsyyt ja seuraukset. Näistä mielikuvista syntyvät olioiden ja ilmiöiden perushahmot. Perushahmotuson jatkuvaa mielikuvien ja havaintojen – teorian ja empirian – vuorovaikutusta,joka pyrkii merkitysten ymmärtämiseen. Mielikuvista puhuminen ja niiden esittäminenluovat tarpeen perushahmojen nimeämiselle eli käsitteistämiselle. Käsitteetovat oivallettujen hahmojen abstrakteja ja yleisiä vastineita, jotka toimivat teorian jaymmärtämisen peruselementteinä. [5, s. 141 – 144]Jokaisen käsitteen hahmotusprosessi on päättymätön. Koska ”käsitettä ei voi erottaamerkityksestään eikä merkitystä sitä luovasta prosessista, … jokainen fysikaalinen käsiteon hahmo, prosessi, jossa empiria ja teoria yhdistyvät yhdeksi jatkuvasti kehittyväksimerkitykseksi”, [5, s. 143].Fysikaalisessa käsitteenmuodostuksessa on oleellista intuition ohjaama empirian jateorian vuorovaikutus. Tätä pyrkii havainnollistamaan kuvan 2.1. kaavio.4

Kuva 2.1.1 Hahmottamisen kaksisuuntainen dynamiikka [5, s. 149].Vaikka hahmottava käsitteenmuodostus on yksisuuntaista ja etenee aina ilmiöstäteoriaan, sen dynamiikka muodostuu kahdesta vastakkaissuuntaisesta prosessista. Kokeellisesta,yksittäistapauksia koskevasta tiedosta tehdään yleistäviä induktiopäätelmiä,joilla pyritään kohti yleisiä periaatteita, teoriaa. Yleisistä periaatteista johdetaan yksittäistapauksiakoskevia ennusteita, deduktiopäätelmiä, jotka testataan kokeellisesti. Fysikaalinenkäsitteenmuodostus on kuin kokeellisen havaintomaailman ja teoreettisen käsitemaailmanvälinen looginen kiertoprosessi. [5, s. 148 – 150]Prosessin lähtökohtana on havaintotieto, jonka pohjalta luodaan hypoteeseja. Hypoteeseistajohdetaan ennusteita, jotka testataan kokeellisesti. Kokeet voivat todentaa ennusteentai osoittaa sen vääräksi, ne voivat tukea hypoteesia tai kumota sen. Kokeidenantaman uuden havaintotiedon perusteella hypoteeseja voidaan korjata, tarkentaa jayleistää. Näin hypoteesit vähitellen jalostuvat käsitteiksi ja käsiterakenteiksi: suureiksi,laeiksi ja teorioiksi. [5, s. 150]On syytä korostaa, että prosessi on pohjimmiltaan intuitiivinen, sillä sen kaikissavaiheissa on kyse intuitiivisesta hahmottamisesta, ei sitovasta loogisesta päättelystä.2.2 Fysiikan käsiterakenneEdellä kirjoitettu soveltuu käsitteenmuodostukseen kaikissa reaalitieteissä. Havaintojenkäsitteistäminen johtaa aina käsitteiden yleistymiseen ja abstrahoitumiseen sekäkäsitteiden muodostamiin hierarkkisiin rakenteisiin. Käsitteenmuodostuksen suunta onaina empiriasta teoriaan, havainnoista käsiterakenteisiin. Fysiikalle ominaista on se, ettäkvalitatiivisen havaitsemisen ja esittämisen tasolta siirrytään kvantitatiivisen empirian jakäsitteiden tasolle, ja niistä edelleen kvantitatiivisen esittämisen ja selittämisen tasolle.Fysiikan käsiterakenteesta voidaan erottaa neljä hierarkkista tasoa: kielen, suureiden,lakien ja teorian tasot (kuva 2.2.). Siirtyminen hierarkian tasolta toiselle merkitseehyppäystä abstraktiotasolta toiselle. Ylemmän tason käsitteet rakentuvat alemman tasonkäsitteistä. Eteneminen kunkin käsitetason sisällä tai siirtyminen tasolta toiselle on perusluonteeltaanedellä kuvatun kaltainen hahmotusprosessi. [5, s. 158]5

Kuva 2.2. Fysiikan käsitteiden hierarkkiset tasot [5, s. 159].Kvalitatiivisella tasolla tapahtuu tutkittavan ilmiöalueen perushahmotus. Perushahmotuson olioiden, ilmiöiden ja niiden ominaisuuksien tunnistamista ja luokittelua sekäniiden välisten riippuvuuksien jäsentämistä. Esikvantifiointi valmistaa tietä kvalitatiiviseltatasolta kvantitatiiviselle. Se merkitsee voimakkuutta luonnehtivien mielikuvienliittämistä olioiden ja ilmiöiden ominaisuuksiin. Esikvantifiointi on siis komparatiivisten,vertailevien, hahmojen luomista.Tämän tason kokeellisuus on havaitsemista ja kvalitatiivisia kokeita. Tämän tasonteoria on syntyneiden mielikuvien ja hahmojen käsitteistämistä, niitä kuvaavanterminologian luomista. [5, s. 160 – 163]Kvantifiointi, ominaisuuden mitattavan vastineen luominen, nostaa käsitteenmuodostuksenkvalitatiiviselta tasolta kvantitatiiviselle tasolle. Kvantifioinnissa ominai-6

suuksista tulee suureita ja ominaisuuksien välisistä riippuvuuksista lakeja. Lait ovatsuureiden välisiä relaatioita, jotka voidaan ilmaista matemaattisesti.Tämän tason kokeellisuus on suureen arvojen mittaamista suureen käyttöalueenmäärittämiseksi ja kontrolloituja kokeita lakien löytämiseksi. Tämän tason teoria onlakien matemaattisen esityksen luomista. Matemaattinen esitys kehittyy mittaustulostentaulukoinnin ja graafisen esityksen kautta suureiden välisiksi algebrallisiksi relaatioiksi.Se tekee mahdolliseksi kvantitatiiviset suure-ennusteet, joita kokeellisesti testaamallalöydetään lain pätevyysalue. Pätevyysalueen löytäminen tekee laista valmiin käsitteen.[5, s. 163 – 166]Käsitehierarkian ylimmälle tasolle, kvantitatiivisen selittämisen eli teorian tasolle,johtaa strukturoinnin prosessi. Perushahmotus ja esikvantifiointi loivat jo malleja ilmiöidensyistä ja seurauksista. Strukturoinnissa mielikuvat täsmentyvät ilmiöaluetta selittäviksiperusmalleiksi ja kausaalisuhteita esittäviksi peruslaeiksi. Teoria on jo ymmärretyntäsmennettyä esittämistä. Teoriassa ilmiötä esittävät suureet ja lait kytkeytyvät fysiikanyhtenäiseen tietorakenteeseen. [5, s. 166 – 168]Myös teoriat muodostavat yleistyviä, abstrahoituvia rakenteita. Esimerkiksi suhteellisuusteoriasekä selittää klassisen mekaniikan että osoittaa sen pätevyysalueen rajat.Samalla se ennustaa uusia säännönmukaisuuksia: ajan hidastumisen kappaleen edetessälähes valon nopeudella, valon taipumisen painovoimakentässä, gravitaatioaallot jne.Hahmottavan käsitteenmuodostuksen prosessi luo fysiikan käsitteiden ja käsitetasojenhierarkkisen rakenteen. Fysiikan tietoa ei voi erottaa sen luomisen prosessista.Voidaan sanoa, että fysiikan tieto ei ole tuote: se on prosessi. [5, s. 169]2.3 Suureet prosesseinaFysiikan käsitteenmuodostus perustuu suureisiin. Luonnonilmiöistä kokeellisestisaatu tieto ilmaistaan suureiden avulla. Teoriat käsittelevät suureiden välisiä riippuvuuksia.Sen tähden suureiden merkityksen ymmärtäminen on fysiikan oppimisenavainkysymys. Ei ole yhdentekevää, kuinka suureet otetaan käyttöön tai määritellään.Suureille ei voi antaa lyhyitä ja tyhjentäviä määritelmiä. Suureen määrittelemiseksion selvitettävä sen koko syntyprosessi, joka etenee portaittain fysiikan käsitteellistentasojen mukaan (vertaa kuvaan 2.2.). [5, s. 181 – 184]1. Suureen empiirinen merkitys syntyy ennen suuretta. Kvalitatiivisella tasollahahmotetaan suureen esittämä ominaisuus. Samoin selvitetään ne oliot ja ilmiöt, joillatällainen ominaisuus on, ja se miten ominaisuus liittyy niihin. Esikvantifioinnissa ominaisuuteenliitetään komparatiivisia hahmoja, voimakkuuden vaihtelua, pysyvyyttä,muuttumista ja riippuvuuksia.Esimerkiksi tällä tasolla havaitaan erilaisia aineita vertailemalla, että niiden tiiviysasteetvaihtelevat. Litra hiekkaa painaa enemmän kuin litra vettä. Kilogramma rautaavie pienemmän tilan kuin kilogramma puuta.2. Kvantifiointi tekee ominaisuudesta suureen. Se nojautuu kokeeseen, jossa ominaisuusilmenee mahdollisimman pelkistettynä ja invarianttina. Kvantifiointi vaatii ainarajauksia ja idealisointia. Nämä löytyvät perushahmotuksen ja esikvantifioinnin myötä.Koe todentaa suureen määrittelylain ja ilmaisee samalla, kuinka suure voidaan mitata jakuinka sille voidaan valita yksikkö. Määrittelylaki on joidenkin muuttujien välinen riip-7

puvuus, joka voidaan esittää numeerisesti, graafisesti ja usein, mutta ei aina, algebrallisenalausekkeena. Kvantifiointi antaa suureen suppean perusmääritelmän.Edellistä esimerkkiä jatkaaksemme: ”Tiheyden määrittelee aineen homogeenisuuslaki,jonka mukaan tiettyä ainetta olevan kappaleen massa on verrannollinen kappaleentilavuuteen. Sen perusteella homogeenisen aineen tiiviysastetta esittää aineelle ominaineninvariantti, tilavuudesta riippumaton suhde m / V, aineen tiheys.” [5, s. 188]3. Strukturoinnissa suure sijoitetaan fysiikan tietorakenteeseen. Näin suure saa teoreettisenmerkityksensä. Teorian avulla voidaan johtaa ennustelausekkeita, joiden avullavoidaan laskea suureen arvoja eri tilanteissa.Esimerkiksi yhtälö ”W = Fs”, ei ole työn määritelmä, koska se ei kerro minkä ilmiönja mitä ominaisuutta työ esittää, eikä kuinka työ mitataan. Kyseessä on ennustelauseke,joka kertoo, että liikkeen suuntaisen vakiovoiman siirtäessä kappaletta tietyn matkanvoiman tekemä työ on yhtä suuri kuin voiman ja siirtymän tulo. Tämän yhtälönmuodostaminen on mahdollista, koska suureen työ merkitys jo tunnetaan.4. Kvantifioinnin vaatimista rajauksista ja idealisoinneista luopuminen yleistääsuureen koskemaan myös niitä tilanteita, joissa se ei ole invariantti. Suure voidaan myösulottaa koskemaan aivan uusia olioita tai ilmiöitä. Samalla sen arvoalue laajenee ja senmittaamiseen on kehitettävä uusia menetelmiä. Yleistyminen voi merkitä myös useidensuureiden yhdentymistä uudeksi kattosuureeksi. Yleistymisprosessissa suure määritelläänyhä uudelleen, yhä yleisempänä ja laajempana käsitteenä. Tämä tekee suureenmäärittelystä avoimen, päättymättömän prosessin.Esimerkiksi suureen tiheys määritelmässä voidaan luopua aineen homogeenisuudenvaatimuksesta. Tällöin tiheys yleistyy jatkuvan aineen pisteittäiseksi tiheydeksi.2.4 Hahmottava lähestymistapaHahmottava lähestymistapa painottaa, konstruktivismin tavoin, oppimisen rakentumistaoppijan omille tiedoille, kokemuksille ja mielikuville. Samalla se korostaa, ettäfysiikan käsitteellisen ja prosessuaalisen rakenteen tulee ohjata oppimisprosessia. Oppiminenon hahmotusprosessi, joka alkaa havainnoista ja ilmiöiden kvalitatiivisestakuvailusta, nousee kvantifioinnin kautta suureiden, lakien ja teorioiden tasoille. Oppijanon hahmotettava merkitykset itse. Fysiikan käsitteistö otetaan käyttöön, jotta voitaisiintäsmällisesti puhua siitä mitä on kokeellisesti havaittu ja mikä jo ymmärretään.Hahmottavaa lähestymistapaa ei voi tiivistää sääntökokoelmaksi. Ensi sijassa semerkitsee empiirisen käsitteenmuodostuksen periaatteen noudattamista. Opetustoimenpiteeton kussakin tilanteessa valittava siten, että ne tukevat oppijan hahmotusprosessia.Se mitä edellä on kirjoitettu fysiikan käsitteenmuodostuksesta, käsitehierarkian rakentumisestaja suureista prosesseina, on osaltaan hahmottavan lähestymistavan kuvailua.[5, s. 264 - 266]Seuraava esimerkki selventänee asiaa. Virtapiiri-ilmiöiden opiskelu alkaa peruskoulussa7. luokalla. Jos opetus alkaa toteamuksella ”sähkövirta on elektronien liikettä johtimessa”,kyseessä on ns. teoreettinen lähestymistapa. Lähtökohdaksi on otettu havaittavanilmiön sijasta sitä selittävä teoreettinen malli. Oppilas ei voi mitenkään havaitaelektroneita tai niiden liikettä johtimessa.Hahmottavan lähestymistavan mukaan opiskelu alkaa virtapiirien hahmottamisellaympäristössä. Lähtökohtana voisi olla yksinkertainen ja konkreettinen ongelma: Kuinka8

paristo, hehkulamppu ja johtimet on kytkettävä, jotta lamppu palaisi? Prosessin edetessäetsitään vastauksia kysymyksiin: Millainen ilmiö sähkövirta on? Millaisissa systeemeissäse esiintyy? Mistä sen tunnistaa? Mitkä ovat sen havaittavat vaikutukset? Mitkä ovatvirtapiirin osat? Millaisia ominaisuuksia niillä on? Miten niiden ominaisuudet vaikuttavatsähkövirran suuruuteen? Mitkä ovat sähkövirran syyt ja seuraukset?Suureet jännite, sähkövirta ja resistanssi otetaan käyttöön empirian pakosta; esittämäänjo ymmärrettyä. Samoin Kirchhoffin lait ja Ohmin laki esittävät täsmällisesti johahmotetut kausaalisuhteet. Vasta kvantitatiivisen selittämisen hierarkkisesti korkeallatasolla ymmärretään millä tavoin sähkövirta on metallijohtimessa elektronien liikettä.Hahmottavan lähestymistavan mukainen opetus perustuu kokeelliseen työskentelyyn.Kokeellisuus voi olla arkihavaintojen luokittelua ja jäsentämistä, oppilastöitä, laboratoriotyöskentelyä,demonstraatioita, opintokäyntejä, av-välineiden tai kerronnanavulla tapahtuvaa toimintaa.Lazarowitz ja Tamir (1994) referoivat lukuisia tutkimuksia, joiden mukaan sekätutkijoiden, opettajien että oppilaiden käsitykset siitä, mihin kokeellisella työskentelylläpyritään ja mitä sen avulla opitaan, vaihtelevat suuresti. On niitä, jotka Woolnoughin jaAllsopin (1985) tavoin voimallisesti erottavat laboratoriossa tapahtuvan luonnontieteellisenprosessin oppimisen käsitteiden oppimisesta, jonka tulisi tapahtua ilman kokeellistatyöskentelyä. Lazarowitz ja Tamir puolestaan näkevät laboratorion paikkana, jossaopiskelijat saavat kokemuksia, jotka vuorovaikuttavat heidän mielikuviensa kanssa jakehittävät uusia käsitteitä. Samalla he muistuttavat kokeellisen työskentelyn tehokkuudenriippuvan harjoitusten ja tutkimusten luonteesta, oppilaiden vuorovaikutuksestaopettajan ja toistensa kanssa sekä kokeita ennen ja jälkeen käytävien keskustelujenluonteesta. He myös viittaavat tutkimuksiin, joiden mukaan kokeellinen työskentely ontehotonta, jos se on vain jo opitun teorian kokeellista vahvistamista, ja tuloksellista, josoppilaat saavat suunnitella kokeita omien hypoteesiensa testaamiseksi. [10]Kurki-Suonioiden mukaan kokeellisuuden on oltava käsitteiden merkityksiä hahmottavaa.Tällöin huomio kiinnitetään sellaisiin ilmiöihin ja ilmiöiden piirteisiin, ja tehdäänsellaisia kokeita, jotka edistävät ja ohjaavat perushahmotusta. Oppijaa ohjataanjärjestelmällisesti havaintojen perusteella tiedostamaan ja muokkaamaan omia mielikuviaan.Konstruktivismin keskeinen ohje on oppimisen vaiheistaminen. Ennen koetta taidemonstraatiota oppilaat keskustelevat joko keskenään tai opettajan kanssa esittäen arvelujaja hypoteeseja siitä mitä kokeessa tapahtuu. Näissä keskusteluissa tulevat ilmioppilaiden luontaiset ajatusmallit ja ennakkokäsitykset. Kokeellisen työskentelyn aikanaoppilaita ohjataan tarkkailemaan ilmiön oleellisia piirteitä. Kun havainnot on kirjattumuistiin ja mittaustulokset taulukoitu tai esitetty graafisesti, käydään niitä strukturoivakeskustelu. Tavoitteena on luoda käsitteellinen ristiriita, joka pakottaa oppijan muokkaamaanmielikuviaan. [9, s. 24]9

3 Tutkielman käsitteelliset tavoitteet ja tutkimusongelmat1. Tutkielmassa analysoidaan vaihtovirtapiirejä esittävän teorian käsitteellistä ja prosessuaalistarakennetta. Tällöin etsitään vastausta kysymyksiin1.1. Mitkä ovat vaihtojännitteen ominaisuudet ja miten ne kvantifioituvat suureiksi?1.2. Mitkä ovat vaihtovirran ominaisuudet ja miten ne kvantifioituvat suureiksi?1.3. Mitkä ovat vaihtovirtapiirien ja piirin komponenttien ominaisuudet ja miten nekvantifioituvat suureiksi?1.4. Mitä lainalaisuuksia vaihtovirtapiirissä tapahtuvat ilmiöt noudattavat ja mitennämä lait esitetään kvantitatiivisesti?2. Tämän analyysin pohjalta pyritään laatimaan hahmottavan lähestymistavan mukainenoppimisprosessia tukeva empiirinen kokonaisuus.Tässä käsite ’empiria’ on ymmärretty laajasti: se tarkoittaa niin kokeellista tutkimusta,demonstraatioita, oppilastöitä, kerrottua empiriaa kuin arkihavaintoja jäsentävääkeskusteluakin. Kokeet pyritään suunnittelemaan niin, että ne voidaan tehdälukion opetusvälinein.10

4 Virtapiiri-ilmiöitä esittävien suureiden syntyprosessiTässä luvussa analysoidaan virtapiiri-ilmiöitä esittävien suureiden syntyprosessia. Analyysiperustuu paljolti Kaarle ja Riitta Kurki-Suonion teoksiin Vuorovaikutuksista kenttiin[6] ja Fysiikan merkitykset ja rakenteet [5] sekä Kaarle Kurki-Suonion luentosarjaanKoulufysiikan tietorakenteet (dfcl2-koulutus Helsingin yliopistossa 1.1.1998 –31.12.1999). Asioita käsitellään kirjoittajan mielestä lukio-opintojen kannalta tarpeellisellalaajuudella.Virtapiiri-ilmiöiden perusominaisuudet, niitä esittävät suureet ja niiden noudattamatlait voitaneen tiivistää alla olevaan järjestimeen. Suureet syntyvät tasavirtapiirejä tutkimallaja yleistyvät kattamaan vaihtovirtailmiöt.TASAVIRTAPIIRIVAIHTOVIRTAPIIRILÄHDEVIRTAPIIRILÄHDEVIRTAPIIRIkyky ylläpitääsähkövirtaajännitekyky vastustaasähkövirtaavastuksenresistanssijännitteenhetkellinen jatehollinen arvopiirinimpedanssiSÄHKÖVIRTAkyky tunteamagneettista vuorovaikutustasähkövirtaSÄHKÖVIRTAsähkövirranhetkellinen ja tehollinen arvoKirchhoffin laitOhmin laki U = R IJoulen lakiHetkelliset Kirchhoffin laitOhmin lainhetkellinen muoto U (t) = R I (t)yleistys U eff = Z I effJoulen lain hetkellinen muoto4.1 SähkövirtaSähkövirta on ilmiö, joka voi esiintyä vain suljetussa virtapiirissä. Suljettu virtapiirion virtalähteen, johtimien ja komponenttien muodostama umpinainen kytkentä. Virtalähteessätapahtuva virtalähdeilmiö pitää piirissä yllä sähkövirtaa. Virtalähteitä ovatmm. paristo, akku, aurinkokenno, lämpöpari, dynamo ja generaattori.Sähkövirta havaitaan ja tunnistetaan vaikutuksistansa. Johtimessa kulkeva sähkövirtalämmittää johdinta. Sähkövirta aiheuttaa kahden virtajohtimen tai virtajohtimen jamagneetin välille magneettisen vuorovaikutuksen, joka ilmenee veto-, poisto- ja vääntövaikutuksina.Sähkövirran kemiallisia vaikutuksia ovat mm. elektrolyysi ja veden hajoaminen.Magneettinen vuorovaikutus ja elektrolyysi osoittavat, että sähkövirta on11

suunnattu ilmiö. Sähkövirran suunta on kaikkialla virtapiirissä sama. Sähkövirran vaikutuksetosoittavat myös, että sähkövirta syttyy ja sammuu kaikkialla piirissä samanaikaisestija että sähkövirran suuruus on haarautumattomassa piirissä kaikkialla sama.5I4I3I2IIKuva 4.1.1Sähkövirran suuruuden ilmaiseva suure on sähkövirta. Sähkövirran kvantifioiminenperustuu sähkövirran magneettisiin vaikutuksiin. Koulussa on yksinkertaisinta tarkastellavirtapiirejä, jotka koostuvat keskenään samanlaisista paristoista ja hehkulampuista.Rakentamalla kuvan 4.1.1. kaltaisia kytkentöjä saadaan aikaan saman sähkövirran monikertoja[3]. Kun tutkitaan virtajohtimen ja sauvamagneetin välistä vuorovaikutusta,havaitaan magneettiin kohdistuvan voiman olevan verrannollinen sähkövirtaan. VerrannollisuusF ~ I kvantifioi sähkövirran suureena. Verrannollisuuskertoimen arvo riippuuyksikönvalinnasta.Vastaavasti virtajohtimen ja magneettineulan välistä vuorovaikutusta tutkittaessahavaitaan magneettineulaan kohdistuvan momentin olevan verrannollinen sähkövirtaan:M ~ I. Tähän lainalaisuuteen perustuu mm. kiertokäämigalvanometrin toiminta.SI-järjestelmässä sähkövirran määrittely perustuu Amperen lakiin: kahden suoranjohtimen välinen magneettinen vuorovaikutus kohdistaa johtimeen voiman, joka on verrannollinenjohtimen sähkövirtaan: F ~ I. SI-järjestelmässä sähkövirran yksikkö on ampeeri,1A. Standardin mukaan ”ampeeri on sellainen ajallisesti muuttumattoman sähkövirta,joka kulkiessaan kahdessa yhdensuuntaisessa äärettömän pitkässä ja ohuessa johtimessa,joiden poikkileikkaus on ympyrä ja jotka ovat yhden metrin etäisyydellä toisistaantyhjiössä, aikaansaa johtimien välille 2 . 10 -7 newtonin voiman johtimen metriäkohti.” (9. yleinen paino- ja mittakonferenssi, CGPM, 1948).Haarautuvassa virtapiirissä sähkövirrat noudattavat Kirchhoffin 1. lakia: virtapiirinkuhunkin pisteeseen tulevien sähkövirtojen summa on yhtä suuri kuin siitä lähteviensähkövirtojen summa.Vastuksessa on Joulen lain mukaan tehon kulutus verrannollinen sähkövirran neliöön:P ~ I 2 . Siksi sähkövirran voimakkuus voitaisiin kvantifioida myös sen lämmitysvaikutuksenperusteella. Faradayn lakien mukaan elektrolyysissä kohtioilla erottuvienaineiden erottumisnopeudet ovat verrannolliset sähkövirtaan. Tämä mahdollistaa sähkövirransuuruuden kvantifioimisen elektrolyysin perusteella.Sähkövirta selitetään aineen atomirakenteen pohjalta. Klassisen mallin mukaan sähkövirtaaiheutuu varauksellisten hiukkasten – metallijohtimessa elektronien, elektrolyytissäionien ja tyhjiössä erilaisten hiukkassuihkujen – liikkeestä. Sähkövirran ja varauksenvälinen yhteys voidaan varmentaa kokeellisesti. Kondensaattori saadaan varattua,kun sen levyt kytketään suljetun virtapiirin kahteen eri pisteeseen. Kun kondensaattorinannetaan purkautua johtimen kautta, saadaan aikaan sähkövirran havaittavat vaikutukset.Kvantitatiivisesti voidaan todentaa, että sähkövirta I tuo kondensaattoriin ajassa tvarauksen Q ~ It. Kun verrannollisuus kirjoitetaan yhtälöksi Q = It, varauksen yksikkötulee määritellyksi sähkövirran yksikön avulla. Yleisemmin voidaan todeta, että johti-12

messa kulkeva virta I kuljettaa johtimen mielivaltaisen poikkileikkauksen läpi aikana dtvarauksen dQ = I dt. Kääntäen, aikana dt johtimen poikkileikkauksen läpi kulkeva varausdQ kuljettaa sähkövirran I = dQ/dt.Sähkömagneettisen induktion tärkein sovellus on vaihtovirta. Kun homogeenisessamagneettikentässä kenttää vastaan kohtisuoran akselin ympäri pyörivän käämin päätyhdistetään johtimella, piiriin syntyy sähkövirta, jonka suunta ja suuruus vaihtelevatajan suhteen sinimuotoisesti. Kun käämin kierrostaajuus on riittävän pieni, sähkövirranvaihtelua voi seurata magneettineulan tai kiertokäämigalvanometrin avulla. Havaitaanvirran suunnan ja suuruuden vaihtuvan kaikkialla virtapiirissä samanaikaisesti. Sähkövirtavoidaan mitata ajan funktiona myös oskilloskoopilla tai tietokoneeseen liitetyllämittausjärjestelmällä.Vaihtovirtaa kuvaavia suureita ovat kulmataajuus, jaksonaika ja taajuus sekä sähkövirranhetkellinen, huippu- ja tehollinen arvo. Vaihtovirran kulmataajuus, jaksonaikaja taajuus ovat yhtä suuret kuin käämin kulmanopeus, kierrosaika ja kierrostaajuus.Näin pyörimisliikettä ja aaltoliikettä kuvaavat suureet yleistyvät kattamaan sähkövirtailmiöt.Vastuksen kuluttama teho noudattaa Joulen lakia myös hetkellisesti: P(t) ~ I(t) 2 .Siksi vaihtovirran tehollinen arvo määritellään siten, että sen suuruinen tasavirta aiheuttaavastuksessa saman keskimääräisen tehonkulutuksen. Kokeellisesti havaitaan, ettäsinimuotoisen vaihtovirran huippu- ja tehollisen arvon suhde on noin 1,41. Matemaattisestinähdään suhteen olevan √2.Haarautuvassa virtapiirissä Kirchhoffin 1. laki pätee kunakin ajan hetkenä erikseen.Tavallisen vaihtovirtapiirin johtimissa ei esiinny varausten kasautumista. Mutta vaihtovirrantaajuuden kasvaessa myös järjestymisvirtojen merkitys korostuu. Jos vaihtovirrantaajuus on hyvin suuri, niin virta ei enää ole joka hetki yhtä suuri johtimen kaikkienpoikkileikkausten läpi.4.2 JänniteVirtalähteessä tapahtuva virtalähdeilmiö aiheuttaa suljettuun virtapiiriin sähkövirran.Kemiallisissa pareissa – paristossa ja akussa – lähdeilmiönä on kemiallinen reaktio.Lämpöpari on johdinsilmukka, joka koostuu kahdesta eri metallia olevasta johtimesta.Kun johtimien liitoskohdat asetetaan eri lämpötiloihin, piiriin syntyy sähkövirta. Kemiallisetja lämpöparit tuottavat tasavirtaa.G G G...GGGGKuva 4.2.1Virtalähdeilmiötä on yksinkertaisinta tarkastella virtapiirissä, jotka koostuvat keskenäänsamanlaisista paristoista ja vastuksista (hehkulampuista). Rakentamalla kuvan13

4.2.1. mukaisia kytkentöjä havaitaan, että sähkövirta säilyy samana rinnankytkennässä,moninkertaistuu paristoja sarjaan kytkettäessä, vähenee, kun kytketään uusi paristo eripäin, ja että sähkövirta ei kulje, kun paristoja on yhtä monta molemmin päin.Havainnot käsitteistetään seuraavasti. Pariston virtalähdeilmiö on sähkövirran syy.Virtalähdeilmiön voimakkuutta esittävä suure, lähdejännite, on verrannollinen sähkövirtaan.Lähdejännite säilyy samana paristojen rinnankytkennässä ja on additiivinen sarjaankytkennässä.GKuva 4.2.2Kun rakennetaan virtapiiri, jossa on n paristoa ja n vastusta (lamppua) sarjassa, havaitaan,että piirin sähkövirta on luvusta n riippumaton vakio (kuva 4.2.2.). Tämä ymmärretäänsiten, että sähkövirta aiheuttaa kussakin vastuksessa jännitehäviön, joka onyhtä suuri kuin vastuksen ”rinnalle” kytketyn pariston lähdejännite.V3E 02E 0E 0OXYKuva 4.2.3Kokeen perusteella voidaan määritellä piirin potentiaali V paikan funktiona. Valitaanpiste O maadoituspisteeksi ja asetetaan V O = 0. Tällöin piirin potentiaalista voidaanpiirtää portaittainen kuvaaja (kuva 4.2.3.). Piirin kahden pisteen välinen jännite on yhtäsuuri kuin pisteiden välinen potentiaaliero: U XY = V Y – V X .V3E 0AE xxGXB2E 0E 0ABXxAKuva 4.2.414

Lähdejännitteen kvantifioimiseksi korvataan edellisen kytkennän vastukset (lamput)homogeenisella johdinlangalla (kuva 4.2.4.). Tällöin potentiaalin kuvaajasta tulee laskevasuora. Kokeellisesti tämä varmennetaan seuraavasti. Kytketään tutkittavan paristonmiinusnapa vastuslangan AB pisteeseen A. Etsitään vastuslangalta sellainen kytkentäpisteX, että tutkittavan pariston piirissä ei kulje virtaa. Tällöin pisteiden A ja X välinenjännitehäviö kumoaa tutkittavan pariston lähdejännitteen E x . Kun lähdejännitteelle annetaanarvot E 0 , 2E 0 , 3E 0 … , missä E 0 on valitun normaalipariston lähdejännite, osanAX pituus saa arvot x 0 , 2x 0 , 3x 0 , … . Siten U AX = E x ~ x.Tämän jälkeen minkä tahansa pariston lähdejännite voidaan mitata käyttäen yksikkönävalitun normaalipariston lähdejännitettä. Näin tulevat kvantifioiduiksi suureet lähdejännite,jännitehäviö, piirin potentiaali ja kahden pisteen välinen jännite.Virtapiirit noudattavat Kirchhoffin 2. lakia: virtapiirin jokaisessa umpinaisessa silmukassalähdejännitteiden summa on yhtä suuri kuin jännitehäviöiden summa. Piirinlämpöteho P, lähdejännite E ja sähkövirta I noudattavat Joulen lakia: P ~ EI. Nämä kokeellisetlait voidaan tulkita energian säilymislaeiksi prosessissa, jossa piirissä kulkevasähkövirta lämmittää johdinta.Kuten aiemmin on jo todettu, sähkövirran ja varauksen välinen yhteys voidaan kokeellisestitodentaa, kun kondensaattorin levyt kytketään suljetun virtapiirin kahteen eripisteeseen. Tällöin havaitaan, että piirin kahden pisteen välinen jännite ja kondensaattorinlevyjen välinen sähköstaattinen jännite ovat suoraan verrannolliset. Siten nämä suureetvoidaan yhdistää samaksi suureeksi.Vaihtovirtageneraattorissa virtalähdeilmiönä on sähkömagneettinen induktio. Kunkäämi pyörii homogeenisessa magneettikentässä kenttää vastaan kohtisuoran akselinympäri, sen päiden välille syntyy lähdejännite, jonka suunta ja suuruus vaihtelevat ajansuhteen sinimuotoisesti. Jännite voidaan mitata ajan funktiona oskilloskoopilla tai tietokoneeseenliitetyllä mittausjärjestelmällä.Vaihtojännitettä kuvaavia suureita ovat kulmataajuus, jaksonaika ja taajuus sekäjännitteen hetkellinen, huippu- ja tehollinen arvo. Vaihtojännitteen kulmataajuus, jaksonaikaja taajuus ovat yhtä suuret kuin käämin kulmanopeus, kierrosaika ja kierrostaajuus.Vastuksen kuluttama teho noudattaa Joulen lakia myös hetkellisesti: P(t) ~ U(t) 2 .Siksi vaihtojännitteen tehollinen arvo määritellään siten, että sen suuruinen tasajänniteaiheuttaa vastuksessa saman keskimääräisen tehonkulutuksen. Kokeellisesti havaitaan,että sinimuotoisen vaihtojännitteen huippu- ja tehollisen arvon suhde on noin 1,41. Matemaattisestinähdään suhteen olevan √2.Umpinaisessa virtasilmukassa Kirchhoffin 2. laki pätee kunakin ajan hetkenä erikseen.4.3 Resistanssista impedanssiinKun erilaisten virtapiirien napojen välille kytketään yhtä suuret jännitteet, niihinsyntyvät erisuuret sähkövirrat. Havaitaan, että sähkövirta riippuu jännitteestä tavalla,joka on kullekin piirille ominainen.Tämän ominaisuuden kvantifioimiseksi tutkitaan, miten metallijohtimen jännitehäviöriippuu sähkövirrasta. Kytketään johtimen päät lähteeseen, jonka jännitettä voidaanvarioida, ja mitataan johtimessa kulkeva virta. Pidetään johtimen lämpötila vakiona jakäytetään riittävän pientä sähkövirtaa. Tällöin jännitehäviö on verrannollinen sähkövir-15

taan: U ~ I. Varioimalla johdinta havaitaan, että verrannollisuuskerroin on johtimelleominainen, virrasta riippumaton, vakio. Verrannollisuuskerrointa R = U / I sanotaanjohtimen resistanssiksi. Se ilmaisee johtimen kyvyn vastustaa sähkövirran kulkua.Virtapiirin komponenttia, joka noudattaa edellä todettua Ohmin lakia, sanotaan vastukseksi.Metallijohtimet noudattavat Ohmin lakia vakiolämpötilassa, jos sähkövirta onriittävän pieni.Ohmin laki voidaan yleistää koskemaan jännitehäviötä paristossa. Tällöin se määritteleepariston sisäisen resistanssin.Virtapiireissä käytetään myös komponentteja, jotka eivät noudata Ohmin lakia. Tällaisiaovat mm. hehkulamput, elektroniputket ja puolijohdekomponentit. Komponentinkykyä vastustaa sähkövirtaa voidaan kuvata staattisella ominaiskäyrällä, joka ilmaiseekomponentissa tapahtuvan jännitehäviön riippuvuuden siinä kulkevasta sähkövirrasta: U= U(I). Ominaiskäyrän perusteella voidaan määrittää komponentin dynaaminen ja staattinenresistanssidUU( I )Rd= ja Rs=dIIjotka ilmaisevat, miten voimakkaasti virran muuttuminen vaikuttaa jännitehäviöönkomponentissa. Ohmin lakia noudattavan komponentin ominaiskäyrä on suora, jotensen dynaaminen ja staattinen resistanssi ovat samat kuin aiemmin määritelty resistanssi.Sähkövirran atomaarisessa mallissa sähkövirta perustuu sähköisesti varautuneidenhiukkasten liikkeeseen. Elektrolyyttistä sähkönjohtavuutta nesteessä voidaan kuvatamallilla, jossa sähkövirtaa kuljettaviin hiukkasiin vaikuttaa sähköstaattisen voiman ohellanopeuteen verrannollinen väliaineen vastus. Metallijohtimien resistanssin kuvaamiseentämä malli ei sovellu, koska se johtaa ristiriitaan Ohmin lain kanssa. Metallinenjohtavuus saadaan selitettyä, kun sekä kidehilaa että johdinelektroneja kuvataan kvanttimekaanisinmallein.Vaihtovirta ja –jännite noudattavat vastuksessa Ohmin lakia myös hetkellisesti,U(t) = R I(t), kun virran muutokset ovat riittävän hitaita. Vaihtovirran ja –jännitteenvälisen vaihe-eron vuoksi tämä ei päde yleisesti vaihtovirtapiireissä.Vaihtovirtapiirissä Ohmin laki yleistyy tehollisen jännitehäviön ja tehollisen sähkövirranverrannollisuudeksi, U eff ~ I eff . Verrannollisuuskerroin Z = U eff / I eff on piirinimpedanssi, joka ilmaisee piirin kyvyn vastustaa vaihtovirran kulkua. Piirin impedanssiriippuu vaihtojännitteen taajuudesta. Laki koskee kaikkia vastuksista, käämeistä taikondensaattoreista koostuvia vaihtovirtapiirejä. Tosin vastusten lämpötilojen muutoksetja käämien rautasydämet aiheuttavat poikkeamia.Koska teholliset arvot ovat verrannolliset huippuarvoihin, laki voidaan esittää myösmuodossa U 0 = Z I 0 . Tämä voidaan edelleen yleistää kompleksiseksi Ohmin laiksi, jokasisältää virran ja jännitteen vaihe-eron. Huomattakoon, että nämä lait edellyttävät ajansuhteen sinimuotoisesti vaihtelevaa sähkövirtaa.Kondensaattorissa vaihtovirta on vaihe-eron π/2 jännitteen edellä. Kondensaattorinimpedanssi on kääntäen verrannollinen vaihtojännitteen taajuuteen ja kondensaattorinkapasitanssiin. Resistanssittomassa käämissä puolestaan jännitehäviö on vaihe-eron π/2sähkövirran edellä. Käämin impedanssi on suoraan verrannollinen vaihtojännitteen taajuuteenja käämin induktanssiin.Reaalisissa vaihtovirtapiireissä tapahtuu sekä ns. ohmista, kapasitiivista että induktiivistajännitehäviötä. Siksi impedanssi esitetään usein vektorina Z = (R,X), jonka suo-16

akulmaisina komponentteina ovat piirin resistanssi R ja reaktanssi X. Vektorin pituuson piirin impedanssi2Z = R +X2ja sen suuntakulma δ ilmaisee vaihe-eron, jonka piirin jännitehäviö on sähkövirtaa edellä,Xtanδ= .RRCL-piirin reaktanssi11X = ωL− = 2πfL −ωC2πfCon tietyllä piirille ominaisella taajuudella nolla. Tähän ns. resonanssi-ilmiöön perustuuniin taajuussuodattimien kuin radiolähettimien ja –vastaanottimien toiminta – yleensäottaen kaikki sähkömagneettinen viestintä.4.4 Sähkövirran tutkimisen ja selittämisen perustana oleva tietorakenneSähkövirta on ilmiö, jonka havaitseminen ja tutkiminen edellyttävät yhtäältä riittävänkehittynyttä teknologiaa ja toisaalta riittävää fysiikan ja kemian tuntemusta. Onhan tutkijantai oppijan tunnettava magneettiset ilmiöt, sähkömagneettinen induktio sovelluksineenja tiedettävä jotain elektrolyysistäkin.Sähkövirran kvantitatiivinen tutkiminen perustuu voiman tai momentin mittaamiseen,ja siten klassiseen mekaniikkaan. Vaihtovirtaa ja –jännitettä esittävät suureet rakentuvatpyörimis- ja aaltoliikettä esittävien suureiden varaan.Sähkövirran selittäminen edellyttää aineen atomirakenteen ja sähköstatiikan tuntemusta.Metallisen johtavuuden selittämiseen tarvitaankin jo kvanttimekaniikkaa.17

5 Vaihtovirtapiirejä hahmottava kokeellisuusVirtapiirien perusominaisuudet ja niitä esittävät suureet hahmotetaan tasavirtapiirejätutkimalla. Vaihtovirtapiiriä esittävät suureet ovat näiden yleistyksiä. Tämä hahmotusjayleistysprosessi on kuvattu lyhyesti luvussa 4. Tässä luvussa pohditaan sellaisia oppimisprosessiatukevia kokeita, jotka voidaan tehdä lukion välinein. Kaikki esitellyt työton kokeiltu Karhulan lukiossa talvella 2000 - 2001.5.1 VirtapiiriNämä ensimmäiset kokeet vahvistavat sitä mielikuvaa, että sähkövirtaa esiintyyvain jännitelähteen ja johtimien muodostamassa suljetussa virtapiirissä. Samalla neosoittavat, että pariston ja dynamon ylläpitämät sähkövirrat eroavat luonteeltaan.Vaiheistus on näissä kokeissa tärkeää. Opettajan on syytä pyytää oppilaita tekemäänennusteita ja kuunnella heidän perustelujaan. Näin hän kykenee paremmin ohjaamaanoppilaiden hahmotusprosessia. Tehtävät voidaan asettaa esimerkiksi seuraavasti:1. Missä alla olevista kytkennöistä lamppu palaa? Rakenna kytkennät ja testaa ennusteesi.Kerro tutkimustesi perusteella, kuinka jännitelähde, johtimet ja lamppu onkytkettävä, jotta piirissä kulkisi sähkövirta. Kuinka paristo ja dynamo eroavat jännitelähteinä?[7, s.136]kondensaattorikondensaattoriKuva 5.1.1 Paristo ja dynamo jännitelähteinä (vasemmalla). Pöytälamppu (oikealla).2. Piirrä pöytälampun kuvaan johtimet, jotka kulkevat pistokkeen, johdon, rungon,lampun kannan ja hehkulampun sisällä. Jos tarjolla on vanha pöytälamppu, pura senpistoke, johto ja kanta. Vertaa omaan piirrokseesi. [8, s. 151]18

neeseen sauvamagneetti. Laitetaan magneetti pyörimään. Tällöin piiriin syntyy sähkövirta,jonka suunta ja suuruus vaihtelevat, mutta eivät sinimuotoisesti. [2, s. 52]Virtamittari,2 mA:n asteikkoKäämi600 rKäämi600 rKuva 5.2.2 Koejärjestely ja käämin napojen välinen jännite ajan funktiona.4. Kytketään polkupyörän dynamo, kiertokäämivirtamittari ja hehkulamppu sarjaan.Pyöritetään dynamoa hitaasti. Tällöin havaitaan, että piirissä kulkevan virran suuntaja suuruus vaihtelevat. Mitataan mittaustietokoneella tai oskilloskoopilla dynamonnapojen välinen jännite ajan funktiona. Määritetään kuvaajasta vaihtojännitteen huippuarvot,jaksonaika ja taajuus. [2, s. 71]Kuva 5.2.3 Dynamon napojen välinen jännite ajan funktiona5. Tähän demonstraatioon tarvitaan äänitaajuusgeneraattori, kolme samanlaistahehkulamppua ja kaksi kompassia. Lamput ovat riittävän samanlaisia, jos ne paristonkanssa rinnan kytkettyinä palavat yhtä kirkkaasti.Kytketään vaihtojännitelähde ja hehkulamppu pitkillä johtimilla sarjaan. Vaihtojännitteentaajuus on syytä säätää riittävän pieneksi, esimerkiksi 0,1 – 0,5 Hz. Lampuntuikkiminen osoittaa sähkövirran suuruuden vaihtelevan. Sähkövirran suunnan vaihteluavoidaan tarkkailla kompassin avulla. Havaitaan, että virran suunta vaihtelee lampuntuikinnan tahdissa.Kytketään vaihtojännitelähde ja kolme hehkulamppua pitkillä johtimilla sarjaan.Tällöin havaitaan, että lamput tuikkivat samassa tahdissa ja että ne hehkuvat kunakinajan hetkenä yhtä kirkkaasti. Lamppujen läpi kulkee sama virta, jonka suuruus vaihteleekaikkialla piirissä samanaikaisesti. Piirissä kulkevan virran suuntaa voidaan tarkkailla20

kahden kompassin avulla. Havaitaan, että virran suunta vaihtuu kaikkialla piirissä samanaikaisesti.Nämä havainnot osoittavat virheelliseksi sen yleisen käsityksen, että sähkövirta syntyy,kun elektronit lähtevät jännitelähteen negatiiviselta navalta ja virtaavat virtapiirinlävitse jännitelähteen positiiviselle navalle. Tämä ei voi olla totta, koska sähkövirransuunnan ja suuruuden vaihtelut tapahtuvat kaikkialla piirissä samanaikaisesti.~kompassi5 V0,5 Hz~5 V0,5 HzKuva 5.2.4 Vaihtovirran suunnan ja voimakkuuden vaihtelun tutkiminen.4 m6. Seuraavat kaksi demonstraatiota osoittavat verkkovirran olevan vaihtovirtaa. Ensimmäiseendemonstraatioon tarvitaan levysoitin, jonka pyörimisnopeutta voidaan säätää,ja stroboskooppilevy tai kiekko, jonka kehälle on piirretty viiva kahden asteen välein.Asetetaan kiekko levysoittimeen ja valaistaan sitä loisteputkella. Laitetaan levypyörimään ja säädetään pyörimisnopeutta kunnes viivat näyttävät pysähtyvän paikoilleen.Levy pyörii tällöin 33 1/3 kierrosta minuutissa. Avataan verhot. Tässä valaistuksessaviivat vilistävät yhä edelleen. Viivat näyttivät pysähtyneen, koska loisteputkivälkkyi 100 Hz taajuudella ja koska levy kiertyi 0,01 sekunnissa tasan kaksi astetta.Jos levysoittimen pyörimisnopeutta ei voi säätää, kokeillaan erilaisia viivojen taitummien ja vaaleiden sektoreiden määriä. [2, s. 71; 8, s. 154]Toiseen demonstraatioon tarvitaan valaistusvoimakkuusmittari ja mittaustietokonetai CBL-järjestelmä. Seurataan loisteputken tai hehkulampun valaistusvoimakkuudenvaihtelua ajan funktiona. Havaitaan, että valaistusvoimakkuus vaihtelee säännöllisestinoin 0,01 sekunnin pituisissa jaksoissa. Tämä merkitsee sitä, että verkkojännitteen suuntavaihtuu 100 kertaa sekunnissa. Siten sen taajuus on 50 Hz.Kuva 5.2.5 Loisteputken valaistusvoimakkuus ajan funktiona.21

5.3 Kirchhoffin lait vaihtovirtapiirissäTasavirtapiirit noudattavat Kirchhoffin lakeja: Virtapiirin kuhunkin pisteeseen tulevienvirtojen summa on yhtä suuri kuin siitä lähtevien virtojen summa. Virtapiirin jokaisessaumpinaisessa silmukassa lähdejännitteiden summa on yhtä suuri kuin jännitehäviöidensumma.Vaihtovirtapiireissä Kirchhoffin lait yleistyvät hetkellisiksi laeiksi: ne pätevät kunakinajan hetkenä erikseen. Yleistymisprosessia voidaan tukea seuraavin kokein [8, s. 70]1. Kytketään vastus ja käämi rinnan tasajännitelähteeseen (kuva 5.3.1.a). Mitataanvirtamittareilla piirin kokonaisvirta I sekä vastuksen ja käämi lävitse kulkevat virrat I 1ja I 2 . Havaitaan, että kokonaisvirta on mittaustarkkuuden rajoissa yhtä suuri kuin osavirtojensumma, I = I 1 + I 2 .Tehdään samat mittaukset käyttämällä äskeisen tasajännitteen suuruista vaihtojännitettä(kuva 5.3.1.b.). Mitataan vaihtovirtamittareilla piirin kokonaisvirta I sekä vastuksenja käämi lävitse kulkevat virrat I 1 ja I 2 . Havaitaan, että mittarin näyttämä kokonaisvirtaon pienempi kuin osavirtojen summa, I < I 1 + I 2 . Näyttää siltä, että vaihtovirtapiiriei noudattaisi Kirchhoffin 1. lakia.Tasavirtapiirissä kokonaisvirta ja käämin lävitse kulkeva virta ovat suuremmat kuinvaihtovirtapiirissä. Vastuksen läpi kulkeva virta on molemmilla jännitteillä yhtä suuri.Tätä koejärjestelyä kokeiltiin vastuksella, jonka resistanssi oli 33 Ω, ja 600 kierroksenkäämillä, jonka resistanssi oli 2,5 Ω ja induktanssi 9 mH.Esimerkiksi, kun napajännitteenä oli 1,5 V:n tasajännite, mitatut virrat olivat I =600 mA, I 1 = 40 mA ja I 2 = 550 mA.Kun napajännitteenä oli 50 Hz:n ja 1,5 V:n vaihtojännite, mitatut virrat olivat I =100 mA, I 1 = 50 mA ja I 2 = 150 mA.AVV~I UI UAI 2 I 2AAI 1P~I 2 (t)TQSRAI 1RARI(t)I 1 (t)Kuva 5.3.1 a) Tasavirta b) Vaihtovirta c) Hetkellinen virta.2. Kytketään vastus ja käämi sarjaan tasajännitelähteen kanssa (kuva 5.3.2.a.). Mitataanpiirin napajännite sekä jännitehäviöt kummassakin komponentissa. Todetaan, ettämittarin näyttämä napajännite on yhtä suuri kuin jännitehäviöiden summa, U = U 1 + U 2 .Tehdään samat mittaukset käyttämällä äskeisen tasavirran suuruista vaihtovirtaa(kuva 5.3.2.b.). Nyt mittarin näyttämä napajännite on pienempi kuin jännitehäviöidensumma, U < U 1 + U 2 . Näyttää siltä, että vaihtovirtapiiri ei noudattaisi Kirchhoffin 2lakia.22

Vastuksen jännitehäviö on yhtä suuri tasa- ja vaihtovirtapiirissä. Piirin napajänniteja jännitehäviö käämissä ovat tasavirtapiirissä pienemmät kuin vaihtovirtapiirissä.Tätä koejärjestelyä kokeiltiin käyttäen samaa vastusta ja käämiä kuin edellä. Kunkokonaisvirraksi säädettiin 60 mA, tasavirtapiirissä mitatut jännitteet olivat U = 2,3 V,U 1 = 2,1 V ja U 2 = 0,15 V. Vaihtovirtapiirissä mitatut jännitteet olivat U = 2,5 V, U 1 =2,1 V ja U 2 = 1,0 V.AIVUAIVU~AR~U(t)RRVVVVU 1 ( t ) U 2 ( t )P Q SU( t )U 1 U 2 U 1 U 2Kuva 5.3.2. a) Tasajännite, b) vaihtojännite, c) hetkellinen jännite.3. Kirchhoffin lakien rikkoutuminen osoittautuu näennäiseksi, kun piirin virrat jajännitteet määritetään ajan funktioina. Hetkelliset virrat ja jännitteet voidaan mitata jokooskilloskoopin tai tietokoneeseen liitetyn mittausjärjestelmän avulla.Kuva 5.3.3. Piirin napajännite ja jännitehäviö vastuksessa (vasemmalla),napajännite ja jännitehäviö käämissä (oikealla).Nemo-mittausjärjestelmällä määritetään hetkelliset jännitteet seuraavasti: Rakennetaankuvan 5.3.2.c. kytkentä. Seurataan ensin piirin napajännitettä U(t) ja jännitehäviötävastuksessa U 1 (t) kytkentänemon kanavilla 1 ja 2. Siksi kytketään piste P kytkentänemonpotentiometriin, piste S kanavaan 1 ja piste Q kanavaan 2. Potentiometrillä23

säädetään keinotekoinen nollataso. Seurataan seuraavaksi piirin napajännitettä U(t) jajännitehäviötä käämissä U 2 (t) kytkentänemon kanavilla 1 ja 2. Siksi kytketään potentiometriinpiste S, kanavaan 1 piste P ja kanavaan 2 piste Q.Oskilloskoopilla jännitteet voidaan mitata seuraavasti: Määritetään ensin jännitehäviötU 1 (t) ja U 2 (t) kytkemällä piste Q oskilloskoopin maadoituskohtioon, piste P kanavaan1 ja S kanavaan 2. Käännetään kanavan 2 napaisuus. Piirretään jännitehäviöidensumma U 1 (t) + U 2 (t) oskilloskoopin kuvaruudulle ja jäljennetään kuvaaja piirtoheitinkalvolle.Määritetään seuraavaksi piirin napajännite U(t). Verrataan lopuksi piirin napajännitteenkuvaajaa summajännitteen kuvaajaan.Kuva 5.3.4. Kokonaisvirta ja vastuksessa kulkeva virta (vasemmalla), kokonaisvirtaja käämissä kulkeva virta (oikealla).Komponentissa kulkeva hetkellinen virta voidaan mitata Nemo-mittausjärjestelmälläseuraavasti: Komponentin eteen kytketään vastus, jonka resistanssi tunnetaan.Mittausjärjestelmä mittaa etuvastuksen napojen välistä jännitettä ajan funktiona. Koskaetuvastuksen resistanssi tunnetaan, voidaan ohjelma asettaa piirtämään komponentissakulkevan sähkövirran kuvaaja.Rakennetaan kuvan 5.3.1.c. kytkentä. Kytketään piste Q muistinemon potentiometriin,piste P kanavaan 1 ja piste S kanavaan 2. Tällöin saadaan mitattua piirin kokonaisvirtaI(t) ja vastuksen läpi kulkeva virta I 1 (t). Tosin virran I 1 (t) kuvaaja on väärinpäin. Kuvaaja saadaan käännettyä Nemo-ohjelmiston taulukkolaskentaohjelmalla.Kytketään seuraavaksi piste T kanavaan 2. Tällöin saadaan mitattua piirin kokonaisvirtaI(t) ja käämin läpi kulkeva virta I 1 (t).Oskilloskoopilla hetkellisten virtojen mittaaminen käy Nemo-ohjelmistoa kätevämmin.Rakennetaan kuvan 5.3.1.c. kytkentä. Kytketään piste Q maadoituskohtioon,piste S kanavaan 1 ja piste T kanavaan 2. Tällöin saadaan mitattua vastuksen ja kääminläpi kulkevat virrat I 1 (t) ja I 2 (t) sekä niiden summa I 1 (t) + I 2 (t). Jäljennetään summavirrankuvaaja ja verrataan sitä kokonaisvirran I(t) kuvaajaan.Havainnot osoittavat, että jännitehäviöt sarjaankytketyissä komponenteissa voivatolla eri vaiheissa, mutta niiden summa on joka hetki yhtä suuri kuin piirin napajännite.Rinnankytkennässä komponenttien lävitse kulkevat virrat voivat olla eri vaiheissa, mut-24

ta niiden summa on joka hetki yhtä suuri kuin piirin kokonaisvirta. Kirchhoffin laitpätevät vaihtovirtapiirissä jokaisena ajan hetkenä erikseen.Samalla havaitaan, että vaihtojännite synnyttää käämiin pienemmän virran kuin samansuuruinen tasajännite, ja että vaihtovirta aiheuttaa käämissä suuremman jännitehäviönkuin samansuuruinen tasavirta. Käämi vastustaa enemmän sähkövirran kulkuavaihto- kuin tasavirtapiirissä. Tämä aiheutuu käämissä tapahtuvasta itseinduktiosta.5.4 Vastus vaihtovirtapiirissäTässä luvussa osoitetaan, että vastus noudattaa Ohmin lakia myös hetkellisesti ja ettäjännitehäviö on vastuksessa aina samassa vaiheessa kuin sähkövirta.Kytketään tutkittava vastus, tunnettu etuvastus ja vaihtojännitelähde sarjaan (kuva5.4.1.). Mitataan sähkövirta ja jännitehäviö vastuksessa samanaikaisesti käyttäen oskilloskooppiatai mittaustietokonetta. [2, s.55; 8, s.74]~U, fR 1RI( t ) U( t )S P TKuva 5.4.1Oskilloskooppia käytettäessä kytketään piste P oskilloskoopin maadoituskohtioon,piste T kanavaan 1 ja piste S kanavaan 2. Käännetään kanavan 2 napaisuus. Kanavan 1signaali edustaa jännitehäviötä ja kanavan 2 signaali vastuksessa kulkevaa virtaa. Havaitaan,että signaalit ovat jokaisena hetkenä samassa vaiheessa.Vaihdetaan oskilloskoopin liipaisutavaksi xy-toiminta. Tällöin kuvaruudulle piirtyyjännitehäviö sähkövirran funktiona. Koska kuvaaja on origon kautta kulkeva suora,vastuksessa hetkellinen jännitehäviö ja sähkövirta ovat suoraan verrannolliset. Vastusnoudattaa Ohmin lakia myös hetkellisesti:U ( t)R =I(t)25

Kuva 5.4.2Nemo-mittausjärjestelmää käytettäessä voidaan sähkövirtaa ja jännitehäviötä seuratakahdella eri tavalla. Mitataan ensin piirin napajännite ja sähkövirta ajan funktionakytkemällä piste S kytkentänemon potentiometriin, piste T kanavaan 1 ja piste P kanavaan2. Koska etuvastuksen resistanssi tunnetaan, voidaan kanava 2 kalibroida näyttämäänpiirissä kulkevaa virtaa. Mitataan seuraavaksi piirin napajännite ja vastuksen päidenvälinen jännite kytkemällä piste T potentiometriin, piste S kanavaan 1 ja piste Pkanavaan 2. Kuvaajia vertaamalla havaitaan, että piirin napajännite, sähkövirta ja vastuksennapojen välinen jännite ovat kaiken aikaa samassa vaiheessa.Mittaukset voidaan tehdä myös siten, että piste P kytketään potentiometriin, piste Skanavaan 1 ja piste T kanavaan 2. Kalibroidaan kanava 1 näyttämään piirissä kulkevaasähkövirtaa. Näillä asetuksilla jännitehäviön kuvaaja piirtyy väärin päin. Mittauksenjälkeen siirrytään Nemon taulukkolaskentaohjelmaan, jossa piirretään kuvaajat I(t), U(t)ja U(I) (kuva 5.4.2.).Koejärjestelyä kokeiltiin vastuksilla, joiden resistanssit olivat R 1 = 100 Ω ja R =220 Ω.26

5.5 Jännitteen ja sähkövirran teholliset arvotLuvun 5.3. kokeissa havaittiin, että vaihtojännite- ja vaihtovirtamittareiden lukemateivät noudata Kirchhoffin lakeja, eivätkä ne ole yhtä suuria kuin jännitteen ja virranhuippuarvot. Kuinka ja miksi, vaihtovirtamittarit on kalibroitu? Mitä niiden lukematkertovat vaihtojännitteestä tai –virrasta? Jos käytössä on tietokone ja jokin mittausohjelmisto,kysymystä voi lähestyä seuraavasti.1. Kytketään paristo, tutkittava vastus ja tunnettu etuvastus sarjaan kuten kuvassa5.4.1. Mitataan sähkövirta ja jännitehäviö vastuksessa ajan funktiona. Siirrytään mittausohjelmistontaulukkolaskenta-ohjelmaan. Piirretään jännitteen, sähkövirran ja tehonkulutuksenkuvaajat.Kytketään seuraavaksi vaihtojännitelähde, tutkittava vastus ja tunnettu etuvastussarjaan. Käytetään äskeisen tasajännitteen suuruista vaihtojännitettä. Mitataan sähkövirtaja jännitehäviö vastuksessa ajan funktiona. Siirrytään mittausohjelmiston taulukkolaskenta-ohjelmaan.Piirretään jännitteen, sähkövirran ja tehonkulutuksen kuvaajat.Tehonkulutuksen kuvaajia vertaamalla havaitaan, että tietyllä aikavälillä ne rajaavatyhtä suuret pinta-alat. Tasa- ja vaihtovirta siis lämmittivät vastusta yhtä paljon. Jännitteensuuruutta varioimalla havaitaan, että jännitteen huippu- ja tehollisen arvon suhdeon aina noin 1,41 ( √2 ).Kuva 5.5.1 Jännite, sähkövirta ja tehonkulutus ajan funktioina.2. Tehollisten arvojen merkitystä voi hahmottaa myös vertaamalla tasa- ja vaihtovirranlämmitysvaikutusta. Kytketään samaan lämmitysvastukseen ensin tietyn suuruinentasajännite ja sitten teholliselta arvoltaan yhtä suuri vaihtojännite. Lämmitetäänvastuksella kummassakin tapauksessa samansuuruista vesimäärää aloittaen samastalämpötilasta. Seurataan veden lämpenemistä ajan funktiona ja vertaillaan mittaustuloksia.[2, s. 71].27

Jos lämmitysvastusta ei ole saatavilla, sen voi valmistaa lasiputkesta ja vastuslangasta(kuva 5.5.2.). Pujotetaan ensin vastuslanka lasiputken läpi ja kierretään sitten loppulankaputken ympärille. Asetetaan putki koeputkeen. Täytetään koeputki vedellä.Kytketään vastuslangan päät jännitelähteeseen.Tätä koejärjestelyä kokeiltiin 0,3 mm:n vahvuisella konstantaanilangalla, jonka resistiivisyysoli 7 Ω/m. Lankaa kului noin metri, joten vastuksen resistanssi oli noin 7 Ω.Lasiputken pituus ja halkaisija olivat 200 mm ja 5 mm. Koeputken pituus ja halkaisijaolivat 160 mm ja 18 mm. Vettä lämmitettiin 9 ja 10 voltin tasa- ja vaihtojännitteillä.Piirissä kulkevat virrat olivat vastaavasti 1,2 ja 1,4 ampeeria.10 V DC 10 V AC 9 V DC 9 V AClämpötilaanturivastuslanka55,050,0T / o Clasiputki45,040,035,030,0koeputki25,0t / min20,00,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0Kuva 5.5.2 Lämmitysvastus (vasemmalla). Veden lämpötila ajan funktiona (oikealla).28

5.6 Ohmin lain yleistysLuvun 5.3. demonstraatioissa ilmeni, että RL-piiri vastustaa enemmän vaihto- kuintasavirran kulkua. Piirin impedanssi on suure, joka ilmaisee virtapiirin kyvyn vastustaavaihtovirran kulkua. Tässä luvussa kerrotaan kuinka piirin impedanssi saadaan kvantifioitua.V~U fAIRLV~U fAIRCLKuva 5.6.1 RL-piiri (vasemmalla), RLC-piiri (oikealla).1. Rakennetaan yksinkertainen RL-piiri kytkemällä vastus, käämi ja vaihtojännitelähdesarjaan (kuva 5.6.1.). Tutkitaan miten tehollinen virta virtapiirissä riippuu tehollisestanapajännitteestä. Esitetään mittaustulokset (I eff , U eff )-koordinaatistossa. Muutetaanjännitelähteen taajuutta ja toistetaan koe. Vertailun vuoksi tehdään koe myös tasajännitteellä.[2, s. 59; 8, s. 77]Mittausarvot asettuvat origon kautta kulkevalle suoralle, joka on sitä jyrkempi mitäenemmän piiri vastustaa sähkövirran kulkua. Tehollinen jännitehäviö virtapiirissä onverrannollinen teholliseen sähkövirtaan: U eff ~ I eff . Suoran kulmakerroinUeffZ =Ieffon piirille ominainen vakio, joka ilmaisee piirin kyvyn vastustaa vaihtovirran kulkua.Kerrointa Z sanotaan piirin impedanssiksi. Impedanssi riippuu jännitteen taajuudesta.Samalla havaitaan, että RL-piiri vastustaa enemmän vaihto- kuin tasavirran kulkua. Piirinimpedanssi on suurempi kuin piirin resistanssi.Koejärjestelyä kokeiltiin käyttäen vastusta, jonka resistanssi oli 100 Ω, ja 600 kierroksenkäämiä, jonka resistanssi oli 2,5 Ω ja induktanssi 9 mH. Mittaustulokset on esitettytaulukossa 5.6.1. ja kuvassa 5.6.2. Kuvaajien perusteella taajuuksia 50 Hz, 500 Hzja 1000 Hz vastaavat impedanssit 290 Ω, 160 Ω ja 90 Ω. Piirin resistanssi oli 80 Ω.2. Täydennetään kytkentä RLC-piiriksi lisäämällä siihen kondensaattori (kuva5.6.1.). Tutkitaan miten tässä piirissä tehollinen virta riippuu tehollisesta napajännitteestä.Koejärjestelyssä käytettiin vastusta, jonka resistanssi oli 100 Ω, ja 600 kierroksenkäämiä, jonka resistanssi oli 2,5 Ω ja induktanssi 9 mH, sekä kondensaattoria, jonkakapasitanssi oli 0,22 µF. Mittaustulokset on esitetty taulukossa 5.6.1. ja kuvassa 5.6.2.Kuvaajien mukaan piirin impedanssit olivat 12 800 Ω, 1 200 Ω ja 400 Ω.Kokeissa löydetty laki U eff = ZI eff on Ohmin lain yleistys. Koska teholliset jahuippuarvot ovat verrannollisia, laki voidaan esittää myös muodossa U 0 = ZI 0 .29

Taulukko 5.6.1 Jännitehäviö ja sähkövirta.RL-piiriRLC-piiri50 Hz 500 Hz 1000 Hz DC 50 Hz 500 Hz 1000 HzU eff / V I eff / mA I eff / mA I eff / mA I / mA I eff / mA I eff / mA I eff / mA0,0 0 0 0 0 0 0,0 0,00,2 2 1 1 2 0,02 0,2 0,50,4 5 2 2 5 0,03 0,3 0,90,6 7 4 2 7 0,05 0,5 1,50,8 9 5 3 9 0,06 0,7 2,01,0 11 6 4 12 0,08 0,8 2,51,2 14 7 4 14 0,09 1,0 3,01,4 16 9 5 17 0,11 1,1 3,51,6 18 10 6 19 0,12 1,3 4,01,8 20 11 6 22 0,14 1,5 4,52,0 23 12 7 25 0,16 1,6 5,0Kuva 5.6.2 Tehollinen jännitehäviö tehollisen virran funktiona RL-piirissä (ylempi) ja RLCpiirissä(alempi).2,01,51,00,50,0U eff / VI eff / mA0 5 10 15 20 2550 Hz500Hz1000HzDC2,52,0U eff / V50 Hz1,51,00,50,0I eff / mA0 1 2 3 4 5500Hz1000Hz30

5.7 Kondensaattori vaihtovirtapiirissä5.7.1 Kondensaattorin impedanssiTässä luvussa etsitään demonstraatioita, jotka osoittaisivat, että kondensaattorin impedanssion kääntäen verrannollinen vaihtojännitteen taajuuteen ja kondensaattorin kapasitanssiin.AIU ~ fCVKuva 5.7.1 Jännitteen ja sähkövirran mittaaminen.1. Tutkitaan aluksi, kuinka kondensaattorin impedanssi riippuu jännitteen taajuudesta.Rakennetaan kuvan 5.7.1. kytkentä. Vaihdellaan piirin napajännitettä U, mitataansähkövirta I ja piirretään kuvaaja U(I). Määritetään kuvaajasta piirin impedanssi. Toistetaankoe jännitteen eri taajuuksilla. [2, s. 63; 8, s. 79]Koejärjestelyä kokeiltiin kondensaattorilla, jonka kapasitanssi oli 0,46 µF. Mittaustulokseton esitetty taulukossa 5.7.1. ja kuvassa 5.7.2. Mittaukset tehtiin analogisillademonstraatiovirta- ja jännitemittareilla. Jännitteet on luettu 0,1 voltin, sähkövirrat 0,05milliampeerin ja taajuudet 1 hertsin tarkkuudella. Impedanssi on määritetty graafisestinoin 10 ohmin tarkkuudella.Taulukko 5.7.1f / Hz 50 100 150 200 250 300 350U / V I / mA I / mA I / mA I / mA I / mA I / mA I / mA0,0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,000,2 0,03 0,10 0,10 0,15 0,15 0,20 0,200,4 0,07 0,15 0,20 0,25 0,30 0,40 0,450,6 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,700,8 0,13 0,25 0,40 0,55 0,65 0,80 0,901,0 0,16 0,35 0,50 0,65 0,80 0,95 1,101,2 0,19 0,40 0,55 0,75 0,95 1,15 1,301,4 0,22 0,45 0,65 0,90 1,10 1,30 1,551,6 0,26 0,55 0,75 1,00 1,25 1,50 1,751,8 0,29 0,60 0,85 1,15 1,40 1,70 2,002,0 0,35 0,65 0,95 1,30 1,60 1,90 2,202,2 0,35 0,70 1,05 1,40 1,75 2,10 2,402,4 0,40 0,80 1,15 1,55 1,90 2,30 2,652,6 0,40 0,85 1,25 1,65 2,10 2,50 2,902,8 0,45 0,90 1,35 1,80 2,25 2,70 3,103,0 0,50 0,95 1,45 1,90 2,40 2,90 3,35Z / Ω 6150 3070 2090 1560 1250 1040 90031

Kuva 5.7.2 Jännitehäviö sähkövirran funktiona.3,02,52,0U / V50 Hz100 Hz150 Hz1,5200 Hz1,00,5250 Hz300 Hz0,0I / mA0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5350 HzKuva 5.7.3 Kondensaattorin impedanssi vaihtojännitteen taajuuden käänteisarvon funktiona.700060005000400030002000Z / ΩR 2 = 110001/f / s00,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025Tulokset osoittavat kondensaattorin impedanssin olevan kääntäen verrannollisen vaihtojännitteentaajuuteen.2. Edellisen kokeen kytkennällä voidaan tutkia myös impedanssin ja kapasitanssinvälistä riippuvuutta. Pidetään vaihtojännitteen taajuus vakiona ja vaihdellaan sen sijaankondensaattoria. Kondensaattoreiden kapasitanssit voidaan mitata kapasitanssimittarilla.Koetta kokeiltiin yhdeksällä eri kondensaattoreilla. Mittaustulokset on esitetty taulukossa5.7.2. ja kuvassa 5.7.4.32

Taulukko 5.7.2C / µF 0,098 0,197 0,293 0,393 0,491 0,513 0,611 0,71 1,004U / V I / mA I / mA I / mA I / mA I / mA I / mA I / mA I / mA I / mA0 0,000 0,000 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,001 0,035 0,060 0,10 0,10 0,20 0,20 0,20 0,25 0,302 0,070 0,130 0,20 0,25 0,35 0,30 0,40 0,45 0,653 0,100 0,195 0,30 0,40 0,50 0,50 0,60 0,70 0,954 0,130 0,255 0,40 0,50 0,65 0,65 0,80 0,90 1,255 0,165 0,30 0,45 0,60 0,80 0,80 0,95 1,15 1,556 0,195 0,40 0,55 0,75 0,90 0,95 1,15 1,35 1,907 0,225 0,45 0,65 0,90 1,10 1,15 1,35 1,60 2,208 0,255 0,50 0,75 1,00 1,20 1,30 1,50 1,80 2,559 0,285 0,55 0,80 1,10 1,35 1,45 1,70 2,0010 0,60 0,95 1,20 1,55 1,60 1,90 2,20Z / Ω 31070 16070 10740 8100 6480 6200 5240 4460 3170Kuva 5.7.4 Jännitehäviö sähkövirran funktiona.108642U / V0,100,200,290,390,490,510,610,710I / mA0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,01,00Kuva 5.7.5 Kondensaattorin impedanssi kapasitanssin käänteisarvon funktiona.180001600014000120001000080006000400020000Z /R 2 = 0,99991/C / 1/µF0 1 2 3 4 5 633

Tulokset osoittavat kondensaattorin impedanssin olevan kääntäen verrannollisen kondensaattorinkapasitanssiin.5.7.2 Hetkellinen jännite, sähkövirta ja teho kondensaattorissaIdeaalisessa kondensaattorissa jännitehäviö on vaihe-eron π/2 sähkövirran jäljessä.Kondensaattorin kuluttama teho vaihtelee ajan suhteen sinimuotoisesti: on vuoroin positiivinen,vuoroin negatiivinen ja keskimäärin nolla. Siten kondensaattori ei kuluta energiaa,vaan vuoroin varastoi sitä sähkökentän energiaksi ja vuoroin syöttää sitä takaisinpiiriin. Näihin idealisointeihin päädytään seuraavankaltaisten tutkimusten perusteella.kanavaan 2~RCI(t)potentiometriinU(t)kanavaan 1Kuva 5.7.6. Hetkellisen jännitteen ja sähkövirran mittaaminen.Rakennetaan kuvan 5.7.6. kytkentä. Käytetään pieniresistanssista etuvastusta. Mitataanoskilloskoopilla tai tietokoneeseen liitetyllä mittausjärjestelmällä hetkellinen sähkövirtaja jännitehäviö kondensaattorissa (vertaa lukuun 5.4.). Määritetään kuvaajista jännitehäviönja sähkövirran välinen aika- ja vaihe-ero. Mikäli mahdollista siirrytään mittausohjelmistontaulukkolaskentaohjelmaan ja määritetään kondensaattorin kuluttama tehoajan funktiona. [2, s. 61; 8, s. 79; 11, s. 212]Koetta kokeiltiin kondensaattorilla, jonka kapasitanssi oli 470 µF. Etuvastuksen resistanssioli 10 Ω ja vaihtojännitteen taajuus 50 Hz.Kuvasta 5.7.7. nähdään, että jännitteen nollakohdat osuvat sähkövirran ääriarvokohtiinja kääntäen. Virta on suurin silloin kuin jännite kasvaa voimakkaimmin. Vaihtojännitteenja -virran jakson pituus on 20 ms. Jännite on 5 ms sähkövirran jäljessä, jotenvaihe-ero on noin π/2. Edelleen havaitaan kondensaattorissa kuluvan tehon olevan vuoroinnegatiivinen ja vuoroin positiivinen. Keskimäärin tehonkulutus on lähes nolla.Havaintoja mallinnetaan seuraavasti: Kondensaattorissa mitattu jänniteU(t) = U 0 sin ωtilmaisee kondensaattorilain mukaan kondensaattorin varauksen Q = CU, missä C onkondensaattorin kapasitanssi. Mitattu sähkövirta on puolestaan kondensaattorin latausvirta34

dQ d(CU ) d(CU0sin ω t)I t)= = == ω CUdt dt dtmissä I 0 = ω CU 0 . Koska funktion sin ωt kuvaaja saadaan funktion cos ωt kuvaajastasiirtämällä tätä oikealle vaihe-eron π/2 verran, jännite on ajan T/4 eli vaihe-eron π/2sähkövirran jäljessä.Kondensaattorin impedanssiksi saadaancosωt = I(00cosωt,ZU=IeffeffU=I00U0=ω CU01=ω C=12πf C.Kondensaattori kuluttaa tehonP = U1( t) I( t) = U ω t ⋅ I cosωt = U I sin 2ωt = P sin 2ω,0sin00 00tmissä tehon huippuarvo P 0 = ½ U 0 I 0 = ½ ω CU 0 2 = ½ I 0 2 / (ω C) = U eff I eff .2Kuva 5.7.7 Hetkellinen jännitehäviö, sähkövirta ja tehonkulutus kondensaattorissa35

5.8 Käämi vaihtovirtapiirissä5.8.1 Käämin impedanssiTässä luvussa tutkitaan, kuinka käämin impedanssi riippuu vaihtojännitteen taajuudestaja käämin induktanssista. Tavoitteena on luonnollisesti osoittaa, että käämin impedanssion suoraan verrannollinen vaihtojännitteen taajuuteen ja käämin induktanssiin. Impedanssinja induktanssin välisen riippuvuuden tutkiminen koulun välineillä on vaikeaa,koska käämin induktanssin varioiminen sen muita ominaisuuksia muuttamatta ei oleyksinkertaista. Suuntaa antavia kokeita voitaneen tehdä.U~fAILVKuva 5.8.1 Jännitteen ja sähkövirran mittaaminen.1. Rakennetaan kuvan 5.8.1. kytkentä. Käytetään pieniresistanssista käämiä. Vaihdellaanpiirin napajännitettä U, mitataan sähkövirta I ja piirretään kuvaaja U(I). Määritetäänkuvaajasta piirin impedanssi. Toistetaan koe jännitteen eri taajuuksilla. Tällöin havaitaan,että käämin impedanssi on verrannollinen jännitteen taajuuteen. [2, s. 63; 8, s.81]Koejärjestelyä kokeiltiin 600 kierroksen käämillä, jonka resistanssi oli 2,5 Ω ja induktanssi9 mH. Mittaustulokset on esitetty taulukossa 5.8.1. ja kuvissa 5.8.2. ja 5.8.3.Mittaukset tehtiin analogisilla demonstraatiovirta- ja jännitemittareilla. Jännitteet onluettu 0,1 voltin, sähkövirrat 10 milliampeerin ja taajuudet 10 hertsin tarkkuudella. Impedanssimääritettiin graafisesti noin 2 ohmin tarkkuudella.Taulukko 5.8.1 Impedanssin riippuvuus jännitteen taajuudesta.f / Hz 600 800 1000 1200 1400 1600 1810 2000 4000U / V I / mA I / mA I / mA I / mA I / mA I / mA I / mA I / mA I / mA0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,00,1 3,0 2,5 2,0 2,0 1,5 1,5 1,0 1,0 0,50,2 6,5 5,0 4,5 4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,00,3 9,0 7,0 6,5 5,5 5,0 4,0 4,0 3,5 2,00,4 13,0 10,0 9,0 7,5 6,5 5,5 5,0 4,5 2,50,5 16,0 12,0 11,0 9,0 8,0 7,0 6,0 5,5 3,00,6 19,5 14,5 13,5 11,0 9,5 8,0 7,0 6,5 3,50,7 22,5 17,0 16,0 13,0 11,0 9,5 8,5 7,5 4,00,8 25,5 19,0 17,5 14,5 12,5 11,0 9,5 8,5 4,50,9 29,0 22,0 19,5 16,5 14,0 12,0 11,0 9,5 5,01,0 24,0 22,0 18,0 15,5 13,5 12,0 11,0 5,5Z / Ω 31 41 45 55 64 74 83 93 17636

Kuva 5.8.2 Käämin jännitehäviö sähkövirran funktiona.1,0U / V0,90,80,70,60,50,40,30,20,1I / mA0,00,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0Kuva 5.8.3 Käämin impedanssi taajuuden funktiona.600 Hz800 Hz1000 Hz1200 Hz1400 Hz1600 Hz1810 Hz2000 Hz4000 Hz180160140120100806040200Z / ΩR 2 = 0,9987f / Hz0 1000 2000 3000 4000Kokeessa on syytä käyttää riittävän suuria vaihtojännitteen taajuuksia. Kun taajuus olialle sata hertsiä, impedanssin ja taajuuden riippuvuus ei ollut lineaarinen, koska tuolloinkäämin impedanssi ei ollut riittävästi sen resistanssia suurempi.2. Koska rautasydän vahvistaa induktioilmiöitä,impedanssin ja induktanssin välistä yhteyttä voidaandemonstroida seuraavasti: Lisätään edellisenkokeen käämiin rautasydän ja kytketään kääminnapojen välille vaihtojännite. Tutkitaan, kuinkapiirissä kulkeva sähkövirta muuttuu, kun I-osaasiirretään vasemmalta oikealle, ja kun se irrotetaanU-osasta. [8, s. 155; 11, s. 205]xkäämi600 r2,5 Ω30 mm 40 mm 30 mm37

Havaitaan, että sähkövirta kasvaa I-osaa siirrettäessä. Käämin induktanssin pienentäminenilmeisesti pienentää käämin impedanssia.3. Käämin induktanssi on verrannollinen käämin kierrosten lukumäärän neliöön.Tutkitaan seuraavaksi piirin impedanssin riippuvuutta käämin kierrosten lukumäärästä.Valitaan tutkittavaksi mahdollisimman pieniresistanssisia käämejä. Lisätään kuvan5.8.1. kytkentään käämin eteen säätövastus, jota säätämällä pidetään piirin resistanssivakiona. Vaihdellaan piirin napajännitettä U, mitataan sähkövirta I ja piirretään kuvaajaU(I). Määritetään kuvaajasta piirin impedanssi. Vaihdellaan käämejä ja toistetaan mittaukset.Kirjataan muistiin kierrosten lukumäärä N ja piirin impedanssi Z. Esitetään tulokset(N 2 , Z)-koordinaatistossa.Tätä koetta kokeiltiin kytkemällä viisi erilaista käämiä vuorotellen noin 5000 - 5025Hz vaihtojännitteeseen. Piirin resistanssi vakioitiin 5 ohmiksi. Mittaustulokset on esitettytaulukossa 5.8.2. ja kuvissa 5.8.4. ja 5.8.5.Taulukko 5.8.2 Impedanssin riippuvuus käämin kierrosten lukumäärästä.N 60 90 180 300 600U / V I / mA I / mA U / V I / mA I / mA I / mA0,0 0 0 0,0 0 0,0 0,00,1 35 20 0,2 10 3,0 1,00,2 75 34 0,4 20 6,5 1,50,3 110 50 0,6 25 10,0 2,50,4 140 70 0,8 35 13,0 3,00,5 175 90 1,0 45 16,0 4,00,6 215 100 1,2 50 19,0 4,50,7 250 120 1,4 60 22,0 5,00,8 280 135 1,6 70 25,5 6,00,9 150 1,8 80 28,5 7,01,0 165 2,0 85Z / Ω 2,8 5,9 23 63 263Kuva 5.8.4 Tehollinen jännitehäviö sähkövirran funktiona.2,01,51,0U / V60 r90 r180 r300 r600 r0,50,0I / mA0 50 100 150 200 250 30038

Kuva 5.8.5 Piirin impedanssi kierrosten lukumäärän neliön funktiona.300250200150100Z / ΩR 2 = 0,9998500N 20 100000 200000 300000 400000Koska sekä piirin impedanssi että induktanssi ovat suoraan verrannollisia käämin kierrostenlukumäärän neliöön, täytyy impedanssin ja induktanssin olla myös keskenäänsuoraan verrannolliset.5.8.2 Hetkellinen jännite, sähkövirta ja teho käämissäIdeaalisessa käämissä jännitehäviö on vaihe-eron π/2 sähkövirran edellä. Ideaalikääminkuluttama teho vaihtelee sinimuotoisesti: on vuoroin positiivinen, vuoroin negatiivinenja keskimäärin nolla. Siten ideaalinen käämi ei kuluta energiaa. Näitä idealisointejavoitaneen perustella seuraavilla tutkimuksilla.kanavaan 2Uf~R 0LI(t)potentiometriinU(t)kanavaan 1Kuva 5.8.6. Hetkellisen jännitteen ja sähkövirran mittaaminen.Rakennetaan kuvan 5.8.6. kytkentä. Käytetään mahdollisimman pieniresistanssistakäämiä. Mitataan oskilloskoopilla tai tietokoneeseen liitetyllä mittausjärjestelmällä hetkellinensähkövirta ja jännitehäviö käämissä (vertaa lukuun 5.4.). Määritetään kuvaajistajännitehäviön ja sähkövirran välinen aika- ja vaihe-ero. Mikäli mahdollista siirrytäänmittausohjelmiston taulukkolaskentaohjelmaan ja määritetään käämin kuluttama tehoajan funktiona. [2, s. 61; 8, s. 81; 11, s. 206]39

Koetta kokeiltiin 600 kierroksen käämillä, jonka induktanssi oli 9 mH ja resistanssi2,5 Ω. Etuvastuksen resistanssi oli 100 Ω. Vaihtojännitteen taajuus oli 50 Hz.Kuva 5.8.7 Hetkellinen jännitehäviö, sähkövirta ja tehonkulutus käämissä.Kuvasta 5.8.7. nähdään, että jännitteen nollakohdat osuvat sähkövirran ääriarvokohtiinja kääntäen. Virta on suurin silloin kuin jännite pienenee voimakkaimmin. Vaihtojännitteenja -virran jakson pituus on 20 ms. Jännite on 5 ms sähkövirran edellä, jotenvaihe-ero on noin π/2. Edelleen havaitaan käämissä kuluvan tehon olevan vuoroin negatiivinenja vuoroin positiivinen. Keskimäärin tehonkulutus on lähes nolla.Havaintoja mallinnetaan seuraavasti: Tarkastellaan ideaalista käämiä, jonka resistanssion nolla. Tällöin käämin napojen välinen jännite on yhtä suuri kuin induktiolainmukainen itseinduktiojännite. Muuttuva sähkövirta I(t) = I 0 sin ωt synnyttää käämiinitseinduktiolain mukaan lähdejännitteenE = - L dI / dt,40

joka voidaan tulkita virran aiheuttamaksi jännitehäviöksiU = −E= LdIdt= Ld( I sinωt)0dt= ωLI0cosωt.= Ucosωt.missä U 0 = ωLI 0 . Funktion cos ωt kuvaaja saadaan funktion sin ωt kuvaajasta siirtämällätätä vasemmalle vaihe-eron π/2 verran, joten jännitehäviö on ajan T/4 eli vaihe-eronπ/2 sähkövirran edellä. Resistanssittoman käämin impedanssiksi saadaan siten0UZ =IeffeffU=I00ωLI=I00= ω L = 2πf L.Ideaalikäämi kuluttaa tehonP = U11 2( t) I( t) = U ω tI sinωt= U I sin 2ωt = ω LI sin 2ωt = P sin 2ω.cos000 02 0 02tmissä tehon huippuarvo P 0 = ½ ωLI 0 2 = ½ U 0 I 0 = U eff I eff .41

5.9 Kondensaattori- ja käämisysteemien impedanssit5.9.1 Kondensaattoreiden rinnan- ja sarjaankytkentäKondensaattorisysteemin impedanssin määräytymistä koskevia lakeja voidaan kokeellisestietsiä seuraavasti: Kytketään kaksi kondensaattoria (a) erikseen, (b) rinnan ja (c)sarjaan vaihtojännitelähteeseen. Mitataan lähteen napajännite, piirissä kulkeva sähkövirtasekä jännitteen taajuus. Määritetään piirin impedanssi ja kapasitanssi. Etsitään säännönmukaisuuksia.[8, s. 156]Kun tunnetaan jännitteen taajuuden f lisäksi jännitteen ja sähkövirran teholliset arvotU eff ja I eff , kondensaattorin impedanssi ja kapasitanssi saadaan yhtälöistäUeff1Z = ja C =I2π f ZeffTutkittaviksi valitut kondensaattorit, mittaustulokset ja niiden perusteella määritetytsuureet on esitetty alla olevassa taulukossa. Kondensaattorisysteemien kapasitanssitmitattiin vertailun vuoksi myös kapasitanssimittarilla. Nämä on merkitty sarakkeeseenC M .Taulukko 5.9.1f / Hz U eff / V I eff / mA Z / Ω C / µF C M / µFkondensaattori A 50 7,0 2,25 3100 1,02 1,00kondensaattori B 50 7,0 0,50 14000 0,23 0,22A ja B rinnan 50 7,0 2,75 2500 1,25 1,22A ja B sarjassa 50 7,0 0,40 17500 0,18 0,18kondensaattori A 500 3,0 11,0 270 1,17 1,00kondensaattori B 500 3,0 2,25 1300 0,24 0,22A ja B rinnan 500 3,0 13,0 230 1,38 1,22A ja B sarjassa 500 3,0 1,90 1600 0,20 0,18Sähköstatiikasta tiedetään, että kahden rinnankytketyn kondensaattorin A ja B kapasitanssinoudattaa lakiaC = C A+ C B;ja että kahden sarjaankytketyn kondensaattorin kapasitanssi noudattaa lakia1 1 1= +C C AC BKokeellisesti määritetyt kapasitanssit noudattavat näitä lakeja 0,05 µF:n tarkkuudella.Kahden tutkitun kondensaattorin impedanssit näyttävät noudattavan rinnankytkennässälakia1 1 1= +Z Z AZ B42

ja sarjaankytkennässä lakiaZ = Z A+ Z B5.9.2 Ideaalikäämien rinnan- ja sarjaankytkentäTässä luvussa pohditaan, kuinka kokeellisesti voitaisiin löytää käämisysteemien impedanssinmääräytymistä koskevat lait. Kytketään kaksi pieniresistanssista käämiä (a)erikseen, (b) rinnan ja (c) sarjaan vaihtojännitelähteeseen. Mitataan lähteen napajännite,piirissä kulkeva sähkövirta sekä jännitteen taajuus. Määritetään piirin impedanssi jainduktanssi. Etsitään säännönmukaisuuksia. [8, s. 156]Kun tunnetaan jännitteen taajuuden f lisäksi jännitteen ja sähkövirran teholliset arvotU eff ja I eff , resistanssittoman käämin impedanssi ja induktanssi saadaan yhtälöistäUeff ZZ = ja L =I2π feffYhtälöitä voidaan soveltaa myös silloin, kun käämin impedanssi on suuri verrattunakäämin resistanssiin.Tutkittavaksi valittiin pieniresistanssiset käämit, joissa oli 180 ja 300 kierrosta. Mittaustulokseton esitetty alla olevassa taulukossa.Taulukko 5.9.2tasavirtavaihtovirtaU eff / V I eff / A R / Ω f / Hz U eff / V I eff / A Z / Ω L / mHKäämi A 0,050 0,210 0,24 1000 1,0 0,220 4,5 0,7Käämi B 0,100 0,155 0,65 1000 1,0 0,085 11,8 1,9Rinnan 0,050 0,255 0,20 1000 1,0 0,290 3,4 0,5Sarjassa 0,101 0,105 0,96 1000 1,0 0,065 15,4 2,4Kahden pieniresistanssisen käämin systeemi näyttää noudattaa sarjaankytkennässä lakejaZ = ZA+ ZB, L = LA+ LBja rinnankytkennässä lakeja1 1 1 1 1= + , = +Z Z Z L LABA1LTaajuutta varioimalla huomattiin, että käämit noudattivat lakeja sitä tarkemmin mitäsuurempi käämin induktiivinen jännitehäviö oli ohmiseen jännitehäviöön verrattuna.Siten on perusteltua ajatella lakien pätevän ideaalikäämeille täsmällisesti.B43

5.9.3 Reaalisten käämien rinnan- ja sarjaankytkentäKytketään seuraavaksi kaksi suuriresistanssista käämiä (a) erikseen, (b) rinnan ja (c)sarjaan vaihtojännitelähteeseen. Mitataan lähteen napajännite, piirissä kulkeva sähkövirtasekä jännitteen taajuus. [8, s. 160]Todellisessa käämissä sinimuotoinen vaihtovirta aiheuttaa aidon Ohmin lain mukaisenjännitehäviön, joka on vaihe-eron α virran edellä. Käämin impedanssi Z, resistanssiR ja reaktanssi X = 2πfL noudattavat lakejaUeff2 2Z = ja Z = R + XIeffSiten käämin induktanssi onL =Z2 −2π fR22Tutkittaviksi valittiin käämit, joissa oli 3600 ja 12 000 kierrosta. Mittaustulokset onesitetty alla olevassa taulukossa.U XαUU RIZαRX = 2π fLTaulukko 5.9.3tasavirtavaihtovirtaU eff / V I eff / mA R / Ω f / Hz U eff / V I eff / mA Z / Ω X / Ω L / mHKäämi A 2,00 22 91 1000 4,0 2,5 1600 1597 0,3Käämi B 2,00 1,30 1538 1000 4,0 0,21 18857 18794 3,0Rinnan 2,00 25 82 1000 4,0 2,7 1502 1500 0,2Sarjassa 2,00 1,25 1600 1000 4,0 0,20 20359 20296 3,2Kahden reaalisen käämin systeemi noudattaa sarjaankytkennässä lakejaZ = ZA+ ZB, R = RA+ RB, X = XA+ XB, L = LA+ LBRinnankytkennässä systeemi ei noudata vastaavia yksinkertaisia lakeja, koska rinnankytkennässävain induktanssittomien komponenttien resistanssien käänteisarvot ja resistanssittomienkomponenttien induktanssien käänteisarvot ovat additiivisia. Yllä olevistahavaintoarvoista tämän sarjaan- ja rinnankytkennän eron havaitsee vasta suhteellisiavirheitä vertailemalla. Tämä työ on omiaan herättämään keskustelun siitä, kuinka montahavaintoa tarvitaan jonkin hypoteesin vahvistamiseen tai kumoamiseen ja millä varmuudellajotain lakia voidaan pitää toteen näytettynä.44

5.10 Resonanssi vaihtovirtapiirissäLuvut 5.10 - 5.12 muodostavat kokonaisuuden, jossa hahmotetaan käsitteiden sähköinenvärähtely ja sähkömagneettinen aaltoliike merkityksiä. Samalla syvennetään virtapiirinreaktanssin ymmärtämistä.Kytketään vastus, kondensaattori, käämi ja vaihtovirtamittari sarjaan vaihtojännitelähteeseen,jonka taajuutta voi säätää (kuva 5.10.1.). Pidetään jännitteen tehollinen arvovakiona ja vaihdellaan taajuutta. Merkitään muistiin virran suuruus taajuuden funktionaja määritetään taajuus, jolla virta on suurimmillaan. Tätä taajuutta sanotaan piirin resonanssitaajuudeksi.Vaihdellaan piirin komponentteja ja tutkitaan miten se vaikuttaa virtamaksiminterävyyteen ja resonanssitaajuuteen. [2, s. 81; 8, s. 114]RCL~AKuva 5.10.1Koejärjestelyn testauksessa käytetyt komponentit ja määritetyt resonanssitaajuudet onesitetty alla olevassa taulukossa.vastus käämi kondensaattori resonanssitaajuusvirranmaksimiarvo220 Ω 600 r0,1 µF 660 … 670 Hz 2,45 mA2,5 Ω9 mHrautasydän220 Ω 600 r0,1 µF 5200 … 5250 Hz 4,5 mA2,5 Ω9 mHilman rautasydäntä220 Ω 600 r0,22 µF 1000 … 1050 Hz 1,9 mA2,5 Ω9 mHrautasydän220 Ω 600 r2,5 Ω9 mHilman rautasydäntä0,22 µF 3500 … 3550 Hz 4,5 mAHavaintojen mukaan maksimin terävyys riippuu piirin komponenteista. Lisäksi kullakinpiirillä on juuri sille ominainen resonanssitaajuus.Käsitteen resonanssitaajuus merkitys käy selvemmäksi, kun tutkitaan oskilloskoopin taimittaustietokoneen avulla, kuinka RCL-piirin napajännitteen ja sähkövirran vaihe-eroriippuu vaihtojännitteen taajuudesta (kuva 5.10.2.). Tällöin havaitaan, että resonanssitaajuudellapiirin sähkövirta on samassa vaiheessa kuin napajännite.45

AC~RLU(t)I(t)Kuva 5.10.2Havainnot voidaan selittää seuraavasti: Koska piirin resistanssi R ei riipu taajuudesta,piirin impedanssi2 2Z = R + Xon pienimmillään ja sähkövirta suurimmillaan, kun piirin reaktanssi X on nolla. Tällöinpiirissä ei tapahdu lainkaan induktiivista tai kapasitiivista jännitehäviötä, joten sähkövirranja napajännitteen välillä ole vaihe-eroa. Yhtälöstä1X = 2 π f L − = 02πf Csaadaan piirin resonanssitaajuudeksi1f =2π LCmissä L on piirin induktanssi ja C kapasitanssi.Kun piirin induktanssi on L = 9 mH ja kapasitanssi C 1 = 0,1 µF tai C 2 = 0,22 µF,saadaan yllä olevasta yhtälöstä resonanssitaajuuksiksif 1 ≈ 5300 Hz ja f 2 ≈ 3600 Hz.Nämä ennusteet ovat huomattavan lähellä äskeisessä kokeessa mitattuja arvoja.46

5.11 VärähtelypiiriResonanssissa RCL-piirin impedanssin muodostaa pelkästään piirin resistanssi. Mitäpienempi resistanssi on, sitä pienempi lähdejännite tietyn sähkövirran ylläpitämiseentarvitaan. Mikäli resistanssi saataisiin kokonaan poistettua, sähkövirran ylläpitämiseenei kenties lainkaan tarvittaisi ulkoista jännitelähdettä. Tässä ja seuraavassa luvussa tutkitaantämän idean käytännön sovelluksia.5 VCLU(t)Kuva 5.11.1 VärähtelypiiriRakennetaan kuvan kytkentä. Varataan kondensaattori tasajännitelähteestä, aukaistaankytkin ja annetaan kondensaattorin purkautua käämin läpi. Seurataan oskilloskoopillatai mittaustietokoneella käämin napojen ja kondensaattorin napojen välistäjännitettä. [8, s. 118]Kuva 5.11.2 Sähköinen värähtelyYllä oleva kuvaaja saatiin, kun kytkettiin rinnan kondensaattori, jonka kapasitanssioli 0,22 µF; ja 600 kierroksinen käämi, jonka induktanssi oli 9 mH. Kuvaajasta nähdään,että kondensaattorin purkautuminen aiheuttaa piiriin vaimenevan vaihtovirran,jonka taajuus on noin 3570 Hz.47

Syntyneen vaihtojännitteen taajuus sekä vastaa luvussa 5.10. määritettyä taajuutta3500 … 3600 Hz, että toteuttaa RCL-piirin resonanssiehdonf =2π1LC=2π1≈ 3580Hz9mH ⋅0,22µ FKun kondensaattorin annetaan purkautua käämin kautta, käämissä tapahtuva itseinduktiovastustaa purkausvirran muuttumista, joten virta kasvaa niin kauan kuin kondensaattorissariittää varausta. Kondensaattorin tyhjennyttyä virta on suurimmillaan, jotenkondensaattori alkaa varautua uudestaan; tällä kertaa vastakkaismerkkiseksi. Kääminvirran pienentyessä itseinduktio aiheuttaa käämiin lähdejännitteen, joka vastustaa muutostakunnes kondensaattori on varautunut uudestaan. Tämän jälkeen kondensaattorialkaa jälleen purkautua ja samat vaiheet toistuvat uudelleen ja uudelleen.Kondensaattorin ja käämin muodostamaan piiriin syntynyt vaihtovirta kuljettaavuoroin energiaa kondensaattorin sähkökentästä käämin magneettikenttään ja vuoroinkäämin magneettikentästä kondensaattorin sähkökenttään. Ilmiötä sanotaan sähköiseksivärähtelyksi, koska se tapahtuu ilman ulkoista virtalähdettä. Koska piirillä on hiemanresistanssia, virta vaimenee vähitellen.Ilmiö voidaan rinnastaa jousen mekaaniseen värähtelyyn, jossa energia muuttuuvuoroin jousivoiman potentiaalienergiaksi ja vuoroin liike-energiaksi.5.12 Värähtelypiirien resonanssiMekaanisen värähtelijän tavoin sähköinen värähtelijä joutuu resonanssiin sen ominaistaajuudellavärähtelevän toisen värähtelijän kanssa. Tämän osoittamiseksi rakennetaankaksi samanlaista värähtelypiiriä. Syötetään toiseen piiriin vaihtovirtaa sen resonanssitaajuudellaja mitataan kummankin piirin kondensaattorin jännite oskilloskoopilla.Tällöin havaitaan, että lähteettömään piiriin syntyy vaihtojännite, jonka taajuus onsama kuin virtalähteen taajuus. [2, s. 106; 8, s. 120]600 r0,22 µF 9 mH 0,22 µF2,5 ΩU 1 ( t ) U 2 ( t )3570 HzKuva 5.12.1Ilmiö voidaan rinnastaa mekaaniseen aaltoliikkeeseen, jossa väliaineessa eteneväaaltoliike siirtää energiaa lähteestä vastaanottimeen. Energian siirtyminen sähköisestävärähtelijästä toiseen voidaan selittää sähkömagneettisessa kentässä etenevän aaltoliikkeenavulla.48

5.13 Käytetyt välineetKokeita suunniteltaessa ja testattaessa käytettiin seuraavia välineitä:hauenleukojahehkulamppujajohtimiakoeputkiakompassejakonstantaanilankaa: 0,3 mm, 7Ω/mkondensaattoreita:0,1 µF, 0,2 µF, 0,3 µF, 0,4 µF, 0,5 µF,0,6 µF, 0,7 µF, 1,0 µF, 1,2 µF, 0,22 µF,0,46 µF, 470 µFkäämejä:60r, 90r, 180r, 300r, 600r, 3600r,12 000rlevysoitinloisteputkimagneettisauvarautasydämiäsäätövastus: 0 – 100 Ωvastuksia: 10 Ω, 33 Ω, 100 Ω, 220 Ωdynamoparistojatasajännitelähdevaihtojännitelähdeäänitaajuusgeneraattorijännitemittarikapasitanssimittarikiertokäämivirtamittarikellolämpömittariresistanssimittarivirtamittarioskilloskooppitietokone ja Nemo-mittausjärjestelmä6 PäätelmiäVaihtovirtapiirejä esittäviä suureita ja lakeja voidaan pitää tasavirtapiirejä esittäviensuureiden ja lakien yleistyksinä. Tutkielman kirjoittaja on mielestään esittänyt luvussa 4tämän yleistysprosessin lyhyesti mutta kattavasti.Luvun 5 empiirinen kokonaisuus tukee kirjoittajan mielestä oppijan hahmottamisprosessia.Toisaalta on muistettava, että mikään koe tai demonstraatio ei ole automaatti.Oppijan huomio voi kiinnittyä epäoleellisiin seikkoihin tai hän voi nähdä kokeessa ennakko-oletustensamukaisia tapahtumia, jolloin koe vain vahvistaa virheellisiä mielikuvia.Siksi kokeelliseen työskentelyyn on aina liityttävä keskustelu, jossa opettaja voikiinnittää oppijan huomion oikeaan kohteeseen ja herättää hänen mielessään relevanttejakysymyksiä. Kokeiden hyvyys tai huonous paljastuu vasta aidoissa opetustilanteissa.Tutkielmassa on esitetty 32 koetta. Näistä neljässätoista on oskilloskooppin ja tietokoneeseenliitettävän mittausjärjestelmän avulla pyritty konkretisoimaan vaihtovirtapiireihinliittyvien käsitteiden merkityksiä. Tällaisia käsitteitä ovat mm. sähkövirran jajännitteen hetkellinen, tehollinen ja huippuarvo; vaihe, vaihe-ero, jakso, taajuus, jaksonaika,sähköinen värähtely ja resonanssi. Kirjoittaja pitääkin oskilloskooppia tai tietokoneeseenliitettävää mittausjärjestelmää välttämättömänä opetusvälineenä.49

7 Viitteet1. Anon. 1994. Lukion opetussuunnitelman perusteet 1994. Opetushallitus. Helsinki.2. Hassi S., Hatakka J., Saarikko H. & Valjakka J. 1999. Lukion fysiikka, Sähkö jamagnetismi 2. WSOY. Porvoo.3. Hämäläinen A., Kurki-Suonio K., Väisänen J. & Lavonen J. 2000.Procedures of Empirical Concept Formation in Physics Instruction.http://didactical.physics.helsinki.fi/didfys/artikk/PHYTEB2000/electricity/electricity.htm Katsottu viimeksi 13.6.20014. Kurki-Suonio K. Didaktinen fysiikka tieteenalana.http://didactical.physics.helsinki.fi/didfys/dida_fys.htmKatsottu viimeksi 13.6.20015. Kurki-Suonio K. ja R. 1994. Fysiikan merkitykset ja rakenteet. Limes ry. Helsinki.6. Kurki-Suonio, K. ja R. 1994. Vuorovaikutuksista kenttiin. Limes ry. Helsinki.7. Lavonen J., Kurki-Suonio K. & Hakulinen H. 1996. Galilei 6, Sähkö. WSOY. Porvoo.8. Lavonen J., Kurki-Suonio K. & Hakulinen H. 1996. Galilei 7, Sähkömagnetismi.WSOY. Porvoo.9. Lavonen J. & Meisalo V. 1997. Luonnontieteiden opetuksen kokeellisuus ja mittausautomaatio.Helsingin yliopiston opettajankoulutuslaitos, LUONTI-projekti. Helsinki.10. Lazarowitz R. & Tamir P. 1994. Research on using laboratory instruction inscience. – Handbook of research on science teaching and learning. Toimittanut GabelL. D. Simon & Schuster Macmillan. New York.11. Lehto H. & Luoma T. 1999. Fysiikka 4, Sähkö, Sähkömagnetismi. Kirjayhtymä Oy.Jyväskylä.12. Meisalo V. & Lavonen J. 1994. Fysiikka ja kemia opetussuunnitelmassa. Opetushallitus.Helsinki.13. Niiniluoto I. 1980. Johdatus tieteenfilosofiaan. Käsitteen ja teorianmuodostus. Otava.Keuruu.50