Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailu

Solmu 1/2010 1Peruskoulun matematiikkakilpailun alkukilpailuLukuvuoden 2009–10 Matemaattisten aineiden opettajienliitto MAOL:in valtakunnallisen Peruskoulun matematiikkakilpailunensimmäinen kierros pidettiin 4.marraskuuta 2009. Työskentelyaikaa oli vain 50 minuuttia.Kilpailutehtävät olivat seuraavanlaiset:3. Laske lukujen 1 jaosamäärä.1summa, erotus ja9999999999994. Päättele, kuinka suuri on kulma α. Kannat ovat yhdensuuntaisia.1. a) Piirrä jonon seitsemäs kuvio.b) Piirräjononseuraavakuvio.Minkäsäännönmukaanjono muodostuu?2. Laske a) kuinka monta grammaa (g) on unssissa(oz.), b) kuinka monta unssia (oz.) on paunassa (lb.),c) kuinka monta grammaa (g) on paunassa (lb.).5. Piirrä ympyrä, jonka säde on kuusi ruutua. Jaa senkehä kahdeksaan yhtä suureen osaan. Piirrä kahdeksanpuoliympyrän kaarta, joiden toinen päätepiste on yksijakopisteistä ja toinen on ympyrän keskipiste. Piirräselkeä kuva käyttäen harppia. Tummenna muodostuneistaalueista joka toinen. Kuinka suuri osa tummennettualue on ympyrän pinta-alasta? Perustele.6.Laskepuuttuvien lukujen summa. Ruudukossapitääjokaisellapystyrivillä,jokaisella vaakarivilläja jokaisessapienessä 3 · 3-ruudukossa olla luvut 1, 2, 3, ..., 9,jokainen vain yhden kerran.7. Neliön kärkipisteet ovat ruutuviivojen leikkauspisteissäja sivun pituus on viisi pituusyksikköä eli ruudunsivua. Yksi kärki keskipisteenä piirretään ympyrä,

2 Solmu 1/2010joka kulkee keskipisteenä olevan kärjen vastaisen kärjenkautta. Kuinka monen ruutuviivojen leikkauspisteenkautta ympyrän kehä kulkee? Piirrä kuva. Tarkastatuloksesi laskemalla.8. Nettiyhteisössä on tyttöjä ja poikia. Jokaisella tytölläon kaverina neljä tyttöä ja viisi poikaa. Jokaisellapojalla on kaverina kolme poikaa ja seitsemän tyttöä.a) Onko nettiyhteisössä enemmän poikia vai tyttöjä?Perustele. b) Mikä on nettiyhteisön pienin mahdollinenhenkilömäärä? Perustele.3. Kysytyt luvut ovat11999999999999 , 999999999998 ja 999999999999.9999999999994. Kuvan merkinnöistä päätellään, että kolmiot ABCja DEF ovat tasakylkisiä. Leikatkoon suora AC EF:npisteessä G ja DE:n pisteessä H. Koska kolmio DEFon tasakylkinen, ∠FED = 50 ◦ . Koska AB‖DE ja kolmioABC on tasakylkinen, niin ∠EHG = ∠CAB =70 ◦ . Koska kolmion kulman vieruskulma on kolmionkahden muun kulman summa, nähdään kolmiostaHEG, että α = ∠AGE = 70 ◦ +50 ◦ = 120 ◦ .RatkaisujaSeuraavat, osin saivarteluakin sisältävät ratkaisut ovatSolmun toimituksen. Niiden perusteella ei tule tehdäpäätelmiä palkintoraadin arvioista eikä siitä, kuinkaperusteellinen työ varsin niukan vastausajan puitteissaolisi mahdollista.1. Tehtävä on samanlainen kuin ns. älykkyystesteissätavallinen ”mikä on jonon seuraava jäsen?” Tällaiseentehtävään ei ole täsmällistä matemaattista ratkaisua.Positiivistenkokonaislukujenjoukossamääriteltyfunktiohanei määräydy pelkästään joukossa {1, 2,..., n}saamiensaarvojenperusteella,josmuutainformaatiotaei ole annettu. ”Luonnollisenoloinen”vastaus kohdassaa) on tietenkin ylemmän kuvan figuuri ja kohdassa b),jossa kuviot voi hahmottaa numeroiksi 1, 2, 3, 4 ja 5asetettuna seläkkäin yhteen peilikuviensa kanssa, esimerkiksioheinen kahta kuutosta markkeeraava kuvio.5. Tehtävän sanamuoto on hiukan väljä, kun se ei tarkemminmäärittele puoliympyränkaarien asemaa. Erästehtävän ehdot täyttävä kuvio olisi viereinen ylempiympyräkuvio. ”Joka toinen alue”on mielekäs, kun piirretäänkuvio alemman mallin mukaan. Silloin tietystikaikki kahdeksan aluetta ovat sama-alaisia,ja 45 ◦ kiertoorigon ympäri vaihtaa varjostetun ja varjostamattomanalueen toisikseen. Kummankin ala on siis puoletympyrän alasta.2. Jos etiketti on rehellinen, niin 3 4lb = 340 g = 12 oz.Tästä nähdään, että 1 lb = 16 oz = 4 3·340 g = 453 1 3 g.Lisäksi 1 oz = 34012 g = 28 1 g. [Koska (tavallinen) unssion noin 28,35 g ja pauna eli naula 453,59 g, etiketti3on rehellinen.]6. Jos tehtävän sudokulla on ratkaisu, tehtävän vastaukseksiriittävä informaatio on esimerkiksi vaakarivejäkoskeva. Jokaisen vaakarivin lukujen summaksi ontultava 1+2+3+···+9 = 45, joten koko ruudukon

Solmu 1/2010 3lukujen summa on 9 · 45 = 5 · 81 = 405. Kun esilläolevien lukujen summa on (vaakariveittäin laskettuna)21+12+19+13+19+14+8+9+24= 139,puuttuvienlukujen summa on 405−139 = 266.Jossattuisiniin, ettäsudokullaeiolisiratkaisua,eitehtävälläkäänolisi [silloin tällöin sattuu aikakauslehdissäsilmiin sudokuja, jotka ovat virheellisiä – useimmiten,vaikkei aina, virhe osoittautuu ratkaisijan tekemäksi].Ratkaisun olemassaolon varmistamiseksi olisi siis sudokuratkaistava. Sudoku todellakin ratkeaa, sen ratkaisuon5 9 3 7 6 2 1 4 86 7 3 3 8 1 5 2 98 1 2 9 5 4 7 3 63 5 9 6 2 8 4 1 72 6 8 1 4 7 5 9 31 4 7 5 9 3 8 6 24 8 5 2 3 9 6 7 19 2 1 4 7 6 3 8 57 3 6 8 1 5 2 9 47. Tämänkin tehtävän sanamuotosaattaa näyttää hiukanväljältä, kun neliön asentoa ruudukossa ei ole yksilöity.Voidaan olettaa, että neliön yksi kärki on origoja pituusyksikkö on ruudukon neliön (sillä neliöitähänruudutlienevät)sivu.Kaksineliönkärkeäonsilloinsellaisissapisteissä (x, y), joiden etäisyys origosta on 5 elijoille pätee x 2 +y 2 = 25. Tällaisiapisteitä ovat (±5, 0),(0, ±5) ja (±4, ±3) ja (±3, ±4). Erilaisia tehtävän toteuttavianeliöitä on kaikkiaan 12. Jokaisen lävistäjänpituuden neliö on 5 2 + 5 2 = 50, joten kaikkiin neliöihinliittyysamaorigokeskinenympyrä.Tälläympyrälläolevien ruutuviivojen leikkauspisteet (x, y) toteuttavatkaikki ehdon x 2 +y 2 = 50. Kokeilemalla nähdään, ettäainoat kokonaislukuparit, jotka yhtälön toteuttavat,ovat(±5, ±5)(4kpl)ja(±1, ±7)(4kpl)sekä(±7, ±1)(4 kpl). Pisteitä on siis 12.8. Olkoon poikia p kappaletta ja tyttöjä t kappaletta.Tehtävässä ei ilmoitettu kaveruuden molemminpuolisuutta.Ilman tätä tietoa tehtävällä ei ole ratkaisua:samat seitsemän tyttöä voivat olla kavereina esim. sadallepojalle, ja tytöillä on kullakin omat muutamatkaverinsa toisten tyttöjen ja poikien joukossa, samoinpojilla poikien joukossa.Jos kuitenkin kaveruus on molemminpuolista,voidaan ”kaveruus”tulkita esim. kaveripariayhdistäväksi viivaksi. Viivoja on 7p = 5t, jotenp < t. Lisäksi p on jaollinen 5:llä ja t 7:llä. Pojasta poikaankulkevia viivoja on 3p , koska jokaisesta pojasta2lähtee kolme tällaista viivaa, ja jokainen viiva tulee lasketuksikahdesti, kerran kummankin päänsä kohdalla.Tämä merkitsee sitä, että p on parillinen luku, jotenp ≥ 10 ja siis t ≥ 14. Osoitetaan, että 24 henkilön nettiyhteisötoteuttaa vaaditut ehdot. Jaetaan kymmenenpoikaa kahdeksi viiden pojan joukoksi P 1 ja P 2 ja 14tyttöä kahdeksi seitsemän tytön joukoksi T 1 ja T 2 . Josjoukon P 1 jokaisen pojan kavereina ovat kaikki T 1 :n tytötja joukon P 2 jokaisen pojan kavereinakaikki joukonT 2 tytöt, niin poikien ja tyttöjen välinen kaveruusehtototeutuu. Jos kummassakin tyttöjoukossa erikseen kaveruustoteutuu esimerkiksi oheisen kaavion mukaan,tyttöjen tuttavuusehto täyttyy:1 2 3 4 5 6 7⎛⎞1 x x x x2 x x x x3 x x x x4 x x x x.5 ⎜x x x x⎟6⎝x x x x⎠7 x x x xPoikien kaveruusehto puolestaan täyttyy esimerkiksisilloin, kun kaveruudet järjestyvät tällaisen kaavionmukaan:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10⎛⎞1 x x x2 x x x3 x x x4 x x x5 x x x6 x x x.7 x x x8 ⎜ x x x⎟9 ⎝ x x x ⎠10 x x x