PDF (1 MB) - FMI

94 LUKU 8. MAGNEETTINEN ENERGIAEsimerkki: Koaksiaalikaapelin energiatiheysTarkastellaan koaksiaalikaapelia, jonka keskellä ona-säteinen johdin (matemaattisestisylinteri), sen ulkopuolella sylinterisymmetrisesti eristekerros välilläa ≤ ρ ≤ b, jonka ulkopuolella on jälleen johtava sylinterisymmetrinenkerros b ≤ ρ ≤ c. Oletetaan, että kaikkialla µ = µ 0 . Kulkekoon sisäjohtimessavirta I ja ulkojohtimessa virta −I. Suoran johtimen aiheuttama magneettikenttäon Amperen kiertosäännön perusteellaB = B θ (ρ) e θ = µ 0I(ρ)2πρ e θ (8.17)Tarkastellaan sisempää johdinta (0 ≤ ρ ≤ a). Tällöin I(ρ)/I =(πρ 2 )/(πa 2 ),jotenB θa = µ 0Iρ2πa 2 (8.18)ja magneettinen energiatiheys onu a = B2= µ 0I 2 ρ 22µ 0 8π 2 a 4 (8.19)Sisemmän johteen yli integroitu energia l:n pituisella matkalla onU a =∫l ∫2π∫a000µ 0 I 2 ρ 28π 2 a 4 ρdρdθdz = µ 0lI 216π(8.20)Johtimien välissä a ≤ ρ ≤ b kenttä määräytyy sisemmän johtimen kokonaisvirrastaja vastaavat tulokset ovatB θb = µ 0I2πρu b = µ 0I 28π 2 ρ 2 (8.21)U b = µ 0lI 24πln b amissä siis kokonaisenergia tarkoittaa johtimien välisessä alueessa olevaa kokonaisenergiaa.Uloimmassa johtimessa b ≤ ρ ≤ c vastaavat lausekkeet ovat( )µ 0 I c2B θc =2π(c 2 − b 2 ) ρ − ρu c =µ 0 I 2 ( )c48π 2 (c 2 − b 2 ) 2 ρ 2 − 2c2 + ρ 2(8.22)µ 0 lI 2 [U c =4π(c 2 − b 2 ) 2 c 4 ln c b − 1 ]4 (c2 − b 2 )(3c 2 − b 2 )ja kokonaisenergia on jälleen kyseisen välin yli integroitu energiatiheys. Lopultakoaksiaalikaapelin ulkopuolella kenttä on nolla, joten energiakin onsiellä nolla.