PDF (1 MB) - FMI

8.2. MAGNEETTIKENTÄN ENERGIATIHEYS 93joten magneettinen energia onU = 1 ∑∮I i A · dl i (8.11)2 C iisiirrytään sitten tilanteeseen, missä sähkövirta on tilavuusvirta J ja C ion suljettu lenkki johtavassa väliaineessa. Tilannetta voi ajatella suurenajoukkona lähellä toisiaan olevia silmukoita, jolloin I i dl i → J dV ja∑∮iC ieliU = 1 ∫J · A dV (8.12)2 VSähköstatiikassa energia lausuttiin vastaavasti varaustiheyden ja potentiaalinintegraalina (luku 4.2).Koska ∇×H = J ja ∇·(A × H) =H ·∇×A − A ·∇×H, niindivergenssiteoreemaa käyttämällä saadaanU = 1 2∫→∫VH ·∇×A dV − 1 2V∫SA × H · n dS (8.13)Fysikaalisesti järkevä oletus on, että virtasilmukat eivät ulotu äärettömyyteen,joten pinta S voidaan siirtää kauas niiden ulkopuolelle. Kenttä Hheikkenee vähintään kuten 1/r 2 ja vektoripotentiaali A vähintään kuten1/r, mutta pinta kasvaa vain kuten r 2 . Siispä pintaintegraali häviää kuten1/r tai nopeammin r:n kasvaessa rajatta. Tilavuusintegraali voidaan siis ottaakoko avaruuden yli ja tulokseksi tuleeU = 1 2∫VH · B dV (8.14)Samoin kuin sähköstaattisen energian tapauksessa voidaan määritellä magneettinenenergiatiheysu = 1 2 H · B (8.15)Tulos pätee siis lineaariselle magneettiselle väliaineelle. Mikäli väliaine onlisäksi isotrooppista, saadaanu = 1 2 µH2 = 1 B 22 µ(8.16)Huom. Edellä tarkasteltiin stationaarista tilannetta. Sähkömagneettisenkentän energia yleisessä ajasta riippuvassa tilanteessa käsitellään luvussa 9.