PDF (1 MB) - FMI

92 LUKU 8. MAGNEETTINEN ENERGIAOletetaan, että kaikki vuonmuutokset ovat peräisin systeemin silmukoista,jolloinn∑ dΦ ijn∑dΦ i = dI j = M ij dI j (8.5)dI jj=1Oletetaan lisäksi, että silmukat ovat jäykkiä ja paikallaan, jolloin energianmuutoksiinei liity mekaanista työtä. Tällöin dW b on yhtäsuuri kuin magneettisenenergian muutos dU. (Virrat oletetaan myös riittävän hitaastimuuttuviksi, jolloin ei tarvitse ottaa huomioon säteilyhäviöitä.)Rajoitetaan tarkastelu yksinkertaiseen väliaineeseen, jossa magneettivuonja virran välinen suhde on lineaarinen. Lasketaan virtapiirisysteeminenergia lähtien tilasta, jossa kaikille virroille I i =0.Väliaineen lineaarisuudestajohtuen lopullinen magneettinen energia ei riipu tavasta, jolla tila onsaavutettu. Näin ollen kaikkien silmukoiden virtaa voidaan kasvattaa nollastalopputilaan samassa tahdissa eli joka hetki I i ′ = αI i, missä α kasvaa0 → 1. Tällöin dΦ i =Φ i dα ja systeemin magneettinen energia on∫ ∫ 1 n∑n∑∫ 1U = dW b = I iΦ ′ i dα = I i Φ i αdα= 1 n∑I i Φ i (8.6)20i=1i=1j=1Tämä voidaan myös ilmaista summana silmukoiden yliU = 1 n∑ n∑M ij I i I j (8.7)2i=1 j=1josta saadaan suoraan yhdelle silmukalle (M 11 = L 1 = L = silmukan itseinduktanssi)U = 1 2 IΦ=1 2 LI2 = 1 Φ 2(8.8)2 LTämän voi rinnastaa kondensaattorin energiaan Q 2 /(2C), joka ilmaisee kondensaattorinsähkökenttään varastoituneen energian. Kahdelle silmukallesaadaanU = 1 2 L 1I1 2 + 1 2 L 2I2 2 + MI 1 I 2 (8.9)missä otettiin huomioon symmetria M 12 = M 21 = M. Harjoitustehtäväksijää osoittaa, että L 1 L 2 ≥ M 2 .0i=18.2 Magneettikentän energiatiheysTarkastellaan ylläolevaa tilannetta magneettikentän näkökulmasta. Oletetaanväliaine edelleen lineaariseksi ja virtapiirit yksinkertaisiksi silmukoiksi.Tällöin magneettivuoksi saadaan Stokesin lauseen avullaΦ i =∫B · n dS =S i∮A · dl iC i(8.10)