PDF (1 MB) - FMI

6.6. REUNA-ARVO-ONGELMIA MAGNEETTIKENTÄSSÄ 81ja tämän jatkuvuus reunalla edellyttää∂ψ 1−µ 0∂r = −µ ∂ψ 20∂r + µ 0M cos θ (6.45)Sijoittamalla näihin ψ:n lausekkeet saadaan yhtälöt∞∑(C 1n a −(n+1) − A 2n a n )P n (cos θ) = vakio (6.46)n=0µ 0 C 10 a −2 ∑ ∞+ µ 0 P n (cos θ)[C 1n (n +1)a −(n+2) + A 2n na n−1 ] (6.47)n=1−µ 0 M cos θ =0P n :t ovat ortogonaalisia funktioita, joten jokaisen n-termin summauksissatäytyy toteutua erikseen. Kun n = 0, saadaan ehdotC 10 a −1 − A 20 = vakio (6.48)µ 0 C 10 a −2 = 0 (6.49)Siis C 10 =0jamyös A 20 voidaan valita nollaksi ilman, että sillä on vaikutustakenttiin B tai H. Termeille n = 1 on voimassaC 11 a −3 − A 21 = 0 (6.50)2C 11 a −3 + A 21 − M = 0 (6.51)jonka ratkaisuna on C 11 = Ma 3 /3; A 21 = M/3.Kun n ≥ 2yhtälöt toteutuvat ainoastaan kertoimilla C 1n = A 2n =0.Ongelma on ratkaistu. Potentiaalit ovatja H-kentät saadaan näiden gradientteinaψ 1 (r, θ) = 1 3 M(a3 /r 2 ) cos θ (6.52)ψ 2 (r, θ) = 1 Mrcos θ (6.53)3H 1 = 1 3 M(a3 /r 3 )[2e r cos θ + e θ sin θ] (6.54)H 2 = − 1 3 Me z (6.55)Ulkoinen B-kenttä onµ 0 H 1 . Koska pallon magnetoituma M = Me z ,jääpallon sisäiseksi B-kentäksiB 2 = 2 3 µ 0Me z = 2 3 µ 0M (6.56)joka on siis vastakkaissuuntainen H-kentälle. Ongelman voisi ratkaista myösluvussa 6.2 esitetyllä tavalla skalaaripotentiaalin avulla, jolloin tehtäväksi