PDF (1 MB) - FMI

80 LUKU 6. MAGNEETTIKENTTÄ VÄLIAINEESSAMagnetoituva pallo tasaisessa magneettikentässäTämä ongelma on periaatteessa sama kuin luvun 3.5 eristepallo tasaisessaulkoisessa sähkökentässä. Lausumalla ψ vyöhykeharmonisten funktioidenavulla ja käyttämällä reunaehtoja saadaan (HT) magneettikentälle lausekkeetpallon sisällä3B 0B 2 =1+2(µ 0 /µ) e z = vakio (6.37)ja pallon ulkopuolella[ ) (µ/µ0 ) − 1 a 3B 1 = B 0 e z +B 0 (2e r cos θ + e θ sin θ) (6.38)(µ/µ 0 )+2](rmissä e z on ulkoisen magneettikentän suuntainen, koordinaatiston origo onpallon keskipisteessä ja kulma θ on poikkeama z-akselilta.Tässä on syytä huomata, että nimenomaan B-kenttä vastaa rakenteeltaansähköstatiikan D-kenttää.Tasaisesti magnetoituneen pallon kenttä tyhjössäOlkoon pallon säde a ja magnetoituma vakio M = Me z . Tilanne on jälleenaksiaalisymmetrinen, joten magneettinen skalaaripotentiaali pallon ulkopuolella(1) ja sisällä (2) voidaan kirjoittaa (ks. luku 2.9.2)ψ 1 (r, θ) =∞∑C 1n r −(n+1) P n (cos θ) (6.39)n=0ψ 2 (r, θ) =∞∑A 2n r n P n (cos θ) (6.40)n=0Erona aiempiin vastaaviin laskuihin on, että nyt ei ole taustan kenttää, jotenulkokentässä kaikki r:n positiiviset potenssit on jätettävä pois. Sisäkentässäei voi puolestaan olla negatiivisia potensseja, jotta ratkaisu olisi äärellinenpallon keskipisteessä. Reunalla r = aH:n reunaehdosta seuraa yksinkertaisestiH 1θ = H 2θ (6.41)B 1r = B 2r (6.42)1 ∂ψ 1a ∂θ = 1 ∂ψ 2a ∂θB-kentässä on mukana myös magnetoituma(6.43)B(r) =−µ 0 ∇ψ(r)+µ 0 M(r) (6.44)