PDF (1 MB) - FMI

6.6. REUNA-ARVO-ONGELMIA MAGNEETTIKENTÄSSÄ 79jonka avulla saadaan∮H · dl =(H 2 − H 1 ) · l 0 △l = △l j · (n 2 × l 0 )=△l (j × n 2 ) · l 0 (6.31)josta seuraa reunaehto(H 2 − H 1 ) t =(j × n 2 ) t (6.32)eli magneettikentän voimakkuuden tangentiaalikomponentti on jatkuva rajapinnanyli, ellei pinnalla ole pintavirtaa. Mikäli H-kenttä tunnetaan pinnanmolemmin puolin, saadaan pintavirran tiheys lausekkeestan 2 × (H 2 − H 1 )=j (6.33)Useissa magnetismiin liittyvissä ongelmissa on näppärää tarkastella vuoputkia.Tarkastellaan magneettikentän kenttäviivoja, siis viivoja, jotka ovatjokaisessa pisteessä kentän B tangentin suuntaisia. Vuoputki on ikäänkuinkimppu kenttäviivoja tai täsmällisemmin alue, jonka vaipan läpi ei kuljeyhtään kenttäviivaa. Olkoot S 1 ja S 2 vuoputken päät. Tällöin vuoputkentilavuuden yli laskettu integraali on∫∫∫∇·B dV = B · n dS 2 − B · n ′ dS 1 =Φ(S 2 ) − Φ(S 1 ) = 0 (6.34)VS 2 S 1missä n ja n ′ ovat magneettikentän suuntaan laskettuja putken päiden normaalivektoreita.Magneettivuo pitkin vuoputkea on siis vakio.Huom. Ylläoleva tulos koskee vain B-kenttää eikä välttämättä pädeH-kentälle: ∫∫∫∇·H dV = (−∇ · M) dV = ρ M dV (6.35)VVVuoputkeen voi siis tulla magneettikentän voimakkuutta, mikäli väliaineenmagneettisten napojen tiheys on äärellinen eli aineella on nollasta poikkeavanapavoimakkuus.V6.6 Reuna-arvo-ongelmia magneettikentässäMagneettiset reuna-arvo-ongelmat ovat yleensä monimutkaisempia kuin sähköstatiikanvastaavat ongelmat. Sähkövirtojen olemassaolo, epätasainen magnetoituminentai epälineaarinen rakenneyhtälö edellyttävät Laplacen yhtälöämonimutkaisempien yhtälöiden ratkomista ja hankaloittavat reunaehtoja.Rajoitutaan tässä yksinkertaisiin tilanteisiin.Virrattomuus (∇×H = 0) tekee mahdolliseksi magneettikentän esittämisenskalaaripotentiaalin gradienttina H = −∇ψ. Jos lisäksi aine on magneettisestiainakin likimain lineaarista eli B = µH ja tasaisesti magnetoitunutta(∇·M = 0), niin ∇·H = 0 ja pääsemme ratkaisemaan Laplacen yhtälöä∇ 2 ψ = 0 (6.36)