PDF (1 MB) - FMI

6.2. MAGNETOITUNEEN AINEEN AIHEUTTAMA KENTTÄ 756.2 Magnetoituneen aineen aiheuttama kenttäLasketaan sitten magneettisen aineen aiheuttama magneettikenttä. Lähdetäänliikkeelle vektoripotentiaalista (vrt. 5.81)A(r) = µ ∫0 M(r ′ ) × (r − r ′ )4π V 0|r − r ′ | 3 dV ′ = µ ∫0M(r ′ ) ×∇ ′ 14π V 0|r − r ′ | dV ′ (6.8)Tekemällä tuttuja vektorikikkoja saadaan tämä muotoonA(r) = µ ∫0 ∇ ′ × M4π V 0|r − r ′ | dV ′ + µ ∮0 M × n4π S 0|r − r ′ | dS′ (6.9)missä S 0 on tilavuuden V 0 pinta. Pinnalla magnetoitumisvirran tiheys onj M = M × n (6.10)Tämä on magnetoitumisvirta yksikköpituutta kohti eli virta on ikään kuinlitistetty kulkemaan yksiulotteisen ”pinnan” läpi. Vektoripotentiaali määräytyysiis magnetoitumisvirrasta tilavuudessa V 0 ja tilavuuden pinnalla S 0A(r) = µ 04π∫J M (r ′ )V 0|r − r ′ | dV ′ + µ 04π∮S 0j M|r − r ′ | dS′ (6.11)Tämä tulos ei arvatenkaan ole mikään yllätys (vrt. sähköstaattinen potentiaali).Tästä ei kuitenkaan ole aivan helppo laskea itse magneettikenttää, koskaJ M = ∇×M. Lähdetään liikkeelle suoraan vektoripotentiaalin määritelmästä.B = ∇×A = µ ∫ [0∇× M(r ′ ) × (r − ]r′ )4π V 0|r − r ′ | 3 dV ′ (6.12)missä gradientti kohdistuu vektoriin r. Nyt integrandi saadaan muokatuksimuotoon (käy itse läpi kaikki välimuodot!)[∇× M(r ′ ) × (r − ][ r′ )(r − r|r − r ′ | 3 = M(r ′ ′ ]))∇·|r − r ′ | 3 −(M(r ′ )·∇) (r − r′ )|r − r ′ | 3 (6.13)Oikean puolen ensimmäinen termi tuo magneettikenttään osuuden∫B I (r) = µ 0M(r ′ )4πδ(r − r ′ ) dV ′ = µ 0 M(r) (6.14)4π V 0Toinen termi vaatii jälleen vähän vektoriakrobatiaa ja antaa tuloksenB II (r) =−µ 0 ∇( 14π∫V 0M(r ′ ) · (r − r′ )|r − r ′ | 3 dV ′ )= −µ 0 ∇ψ(r) (6.15)Tässä ψ(r) on magneettisen materiaalin skalaaripotentiaali. Magneettikenttäon siis tämän potentiaalin ja paikallisten virtojen aiheuttaman magneettikentänsummaB(r) =−µ 0 ∇ψ(r)+µ 0 M(r) (6.16)