PDF (1 MB) - FMI

68 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄjoten jokaiselle komponentille erikseen ja siten koko vektorille on voimassaPoissonin yhtälö∇ 2 A = −µ 0 J (5.71)Koska toisaaltaµ 0 J = ∇×B = ∇×(∇×A) =∇(∇·A) −∇ 2 A (5.72)vektoripotentiaalin on toteutettava ehto∇(∇·A) = 0 (5.73)Usein vektoripotentiaali valitaan siten, että ∇·A = 0, mikä itse asiassaoletettiin edellä implisiittisesti (Luku 9).Sähköstatiikassa skalaaripotentiaali helpottaa laskuja olennaisesti. Vektoripotentiaalion monimutkaisempi suure, mutta silti käyttökelpoinen monessatilanteessa. Vektoripotentiaali on myös hyödyllinen sähkömagneettisiinaaltoihin ja säteilyyn liittyvissä ongelmissa ja keskeinen apuväline elektrodynamiikanteoriassa, relativistisissa tarkasteluissa ja kvanttielektrodynamiikassa.5.6.2 Magneettikenttä kaukana virtasilmukastaMikäli virta on kulkee virtasilmukassa, voidaan palata luvun alussa olleeseenesitykseen J dV → Idr ja vektoripotentiaalin lausekkeeksi tuleeA(r 2 )= µ ∮0I dr 1(5.74)4π |r 2 − r 1 |Tarkastellaan tilannetta kaukana silmukasta ja kehitetään nimittäjä sarjaksi|r 2 − r 1 | −1 =(r2 2 + r1 2 − 2r 1 · r 2 ) −1/2 = 1 [1+ r ]1 · r 2r 2 r22 + ... (5.75)jotenA(r 2 )= µ { ∮0I 1dr 1 + 1 ∮}4π r 2 r23 dr 1 (r 1 · r 2 )+... (5.76)Ensimmäinen integraali on nolla. Jälkimmäinen integrandi on osa lausekkeesta(r 1 × dr 1 ) × r 2 = −r 1 (r 2 · dr 1 )+dr 1 (r 1 · r 2 ) (5.77)Toisaalta lausekkeen r 1 (r 1 · r 2 ) differentiaali r 1 :n pienen muutoksen suhteenond[r 1 (r 2 · r 1 )] = r 1 (r 2 · dr 1 )+dr 1 (r 2 · r 1 ) (5.78)Summaamalla nämä ja jakamalla kahdella saadaandr 1 (r 1 · r 2 )= 1 2 (r 1 × dr 1 ) × r 2 + 1 2 d[r 1(r 2 · r 1 )] (5.79)