PDF (1 MB) - FMI

5.6. MAGNEETTIKENTÄN POTENTIAALIESITYS 675.6 Magneettikentän potentiaaliesitys5.6.1 VektoripotentiaaliKoska magneettikenttä onlähteetön, ∇·B = 0, se voidaan ilmaista vektorikentänroottorinaB = ∇×A (5.62)Vektoripotentiaali A ei ole yksikäsitteinen, sillä olipa f mikä riittävänsiisti skalaarikenttä hyvänsä ∇×(A + ∇f) =∇×A.Vektoripotentiaali voidaan ilmaista virran avulla lähtemälläjälleen Biot’nja Savartin laistaB(r 2 )= µ ∫04π VKoskar 2 − r 1|r 2 − r 1 | 3 = −∇ 12|r 2 − r 1 |voidaan integrandi kirjoittaa muotoonJ(r 1 ) × (r 2 − r 1 )|r 2 − r 1 | 3 dV 1 (5.63)(5.64)J(r 1 ) × (r 2 − r 1 )|r 2 − r 1 | 3 = −J(r 1 ) ×∇ 21|r 2 − r 1 |(5.65)Sovelletaan tähän kaavaa ∇×(fG) =f∇×G−G×∇f. Nyt ∇ 2 ×J(r 1 )=0,koska ∇ 2 ei operoi r 1 :een, joten integrandiksi tulee()J(r 1 ) × (r 2 − r 1 )1|r 2 − r 1 | 3 = −J(r 1 ) ×∇ 2|r 2 − r 1 | = ∇ 12 × J(r 1 ) (5.66)|r 2 − r 1 |∇ 2 voidaan siirtää r 1 :n suhteen laskettavan integraalin ulkopuolelle, joteneli{ ∫ µ0B(r 2 )=∇ 2 ×4π VA = µ ∫04π VKirjoittamalla A komponenttimuodossaA i = µ ∫04π V}J(r 1 )|r 2 − r 1 | dV 1(5.67)J(r 1 )|r 2 − r 1 | dV 1 (5.68)J i|r 2 − r 1 | dV 1 (5.69)nähdään, että komponentit A i ovat matemaattisesti samaa muotoa kuinsähköstaattisen potentiaalin lausekeϕ = 14πɛ 0∫Vρ|r 2 − r 1 | dV 1 (5.70)