PDF (1 MB) - FMI

66 LUKU 5. STAATTINEN MAGNEETTIKENTTÄKokonaisvirta ei riipu paikasta, joten se voidaan siirtää integraalin ulkopuolelle,samoin magneettikenttä, mikäli se on vakio∮F = −I B × dl = 0 (5.52)Siis vakiomagneettikentässä virtasilmukkaan vaikuttava voima on nolla.Tarkastellaan sitten silmukka-alkioon vaikuttavaa vääntömomenttiaCdτ = r × dF = I r × (dl × B) (5.53)joten koko silmukkaan vaikuttava vääntömomentti on∮τ = I r × (dl × B) (5.54)COletetaan jälleen, että magneettikenttä on vakio. Kirjoitetaan ristitulo aukikaavalla r × (dl × B) =(r · B)dl − (r · dl)B. Tällöin∮∮τ = I (r · B)dl − IB r · dl (5.55)CJälkimmäinen integraali muuntuu Stokesin lauseella muotoon ∮ ∫C r · dl =S(∇×r) · dS = 0. Ensimmäinen integraali muuntuu puolestaan yleistetylläStokesin lauseella muotoon∮∫(r · B)dl = dS ×∇(r · B) (5.56)Koska B on vakio, niin (HT)joten∫τ = ISCSC∇(r · B) =B (5.57)(∫dS × B = IS)dS × B = IA × B (5.58)missä pinta-alavektori S voidaan kirjoittaa yleistetyn Stokesin lauseen avulla∫S = n dS = 1 ∮r × dl (5.59)S 2 CTuloa IS kutsutaan silmukan C magneettimomentiksim = IS = 1 ∮2 I r × dl (5.60)Tämän avulla vääntömomentti onCτ = m × B (5.61)Siis vaikka silmukkaan ei kohdistukaan voimaa, joka kiihdyttäisi silmukkaakokonaisuutena, siihen kohdistuu vääntömomentti, joka pyrkii kääntämäänsilmukan pintaa kohtisuoraan magneettikenttää vastaan. Tätä käytetäänhyväksi esimerkiksi avaruusalusten asennonsäätöjärjestelmissä.