PDF (1 MB) - FMI

5.3.AMPÈREN LAKI 63ilmenee vasta Taylorin sarjan neljännessä termissä∣(z − a/2)4 d 4 B ∣∣∣∣z=a/2 zB z (z) = B z (a/2) +24 dz 4 + ...[≈ B z (a/2) 1 − 144 ( ) z − a/2 4]125 a(5.33)5.3 Ampèren lakiTarkastellaan stationaarista virtaa, siis ∇·J = 0. Lasketaan magneettikentänroottori lähtien Biot’n ja Savartin laista{ ∫ µ0∇ 2 × B(r 2 )=∇ 2 ×4π V}J(r 1 ) × (r 2 − r 1 )|r 2 − r 1 | 3 dV 1(5.34)Alaindeksi 2 viittaa siihen, että vietäessä roottori integraalin sisään, se otetaanpaikan r 2 suhteen. Kirjoittamalla ristitulot auki saadaan∇ 2 × B(r 2 )= µ ∫ [ ()]0r 2 − r 1r 2 − r 1J(r 1 ) ∇ 2 ·4π V|r 2 − r 1 | 3 − J(r 1 ) ·∇ 2|r 2 − r 1 | 3 dV 1(5.35)Muistetaan kaavar 2 − r 1∇ 2 ·|r 2 − r 1 | 3 = 1−∇2 2|r 2 − r 1 | =4πδ(r 2 − r 1 ) (5.36)jonka avulla integraalin ensimmäinen termi antaa µ 0 J(r 2 ).Jälkimmäisessä termissä voidaan r 2 − r 1 :n antisymmetrisyyden vuoksivaihtaa derivointi tapahtuvaksi r 1 :n suhteen vaihtamalla merkki. Koskajälkimmäinen termi sisältää ∇:n ja r 2 − r 1 välisen dyaditulon, käsitellään ser 2 − r 1 :n komponentti kerrallaan. Manipuloidaan x-komponenttia kaavalla(x 1 − x 2J ·∇ 1|r 2 − r 1 | 3 = ∇ 1 · J x )1 − x 2|r 2 − r 1 | 3 − x 1 − x 2|r 2 − r 1 | 3 ∇ 1 · J (5.37)Nyt oikean puolen jälkimmäinen termi on nolla oletuksen ∇·J = 0 perusteella.Jäljellä oleva tilavuusintegraali voidaan muuttaa pintaintegraaliksi∫ (∇ 1 · J x ) ∮1 − x 2|r 2 − r 1 | 3 dV 1 = J x 1 − x 2 · dS (5.38)|r 2 − r 1 | 3VTämän on oltava voimassa pinnan valinnasta riippumatta, joten pinta voidaansiirtää virtajakautuman ulkopuolelle eli integraalin on oltava nolla.Sama pätee kaikille komponenteille, joten jäljelle on jäänyt Ampèren lakidifferentiaalimuodossa∇×B = µ 0 J (5.39)S