PDF (1 MB) - FMI

50 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIAVaraustiheydet voidaan ilmaista sähkövuon tiheyden avulla seuraavasti.Eristeissä ρ = ∇·D ja johteiden pinnalla σ = D · n. TällöinU = 1 ∫ϕ ∇·D dV + 1 ∫ϕ D · n dS (4.14)2 V2 STilavuusintegraali lasketaan alueessa, jossa ∇·D ≠ 0 ja pintaintegraali onjohteiden pintojen yli. Muotoillaan tilavuusintegraalin integrandia kirjoittamallaϕ ∇·D = ∇·(ϕ D) − D ·∇ϕ. Tässä oikean puolen jälkimmäinentermi on +D · E ja ensimmäisen termin tilavuusintegraali voidaan muuttaaGaussin lauseen avulla pintaintegraaliksi, jolloin saadaanU = 1 ∫ϕ D · n ′ dS + 1 ∫D · E dV + 1 ∫ϕ D · n dS (4.15)2 S+S ′ 2 V 2 STässä pinta S + S ′ on koko tilavuutta V rajoittava pinta, joka muodostuujohteiden pinnoista S ja tilavuuden V ulkopinnasta S ′ . Molemmissa tapauksissan ′ osoittaa ulospäin tilavuudesta V . Viimeisen integraalin n puolestaanosoittaa johdekappaleista ulospäin eli tilavuuden V sisään. Näinollen integraalitjohdekappaleiden yli kumoavat toisensa.Osoitetaan vielä, että pinnan S ′ yli otettava integraali häviää, kun pintaviedään kauas varausjakautumasta. Kaukana ϕ ∝ 1/r ja D(r) ∝ 1/r 2 .Olkoon nyt S ′′ pinnan S ′ sisäänsä sulkeva R-säteinen pallo. Tällöin on olemassaäärellinen suure M, jolle∫∫1∣S ′ 2 ϕ D · n′ dS∣ ≤ MS ′′ r 3 dS = 4πR2 MR 3 ∝ 1 R → 0 (4.16)kun R →∞. Niinpä energiaksi jääU = 1 ∫D · E dV (4.17)2 VTässä V on koko avaruus sisältäen myös johdekappaleet, joiden sisällä E =0.Lausekkeen integrandi on sähköstaattinen energiatiheysu = 1 2 D · E (4.18)Koska on oletettu lineaarinen väliaine, tämä voidaan kirjoittaau = 1 2 ɛE2 = 1 D 2(4.19)2 ɛHuom. Sovellettaessa tätä formalismia systeemiin, jossa on pistevarauksia,niiden ääretön itseisenergia on vähennettävä eksplisiittisesti.Toinen tapa johtaa tulos (4.18) on esitetty yksityiskohdittain CL:n jaksossa5.2. Siinä lähdetään liikkeelle varausjakautumasta ρ(r) ja oletetaansiihen pieni häiriö δρ. Häiriöön liittyy työ∫δU = δρ(r)ϕ(r) dV (4.20)V