PDF (1 MB) - FMI

4.3. SÄHKÖSTAATTISEN KENTÄN ENERGIA 49Kaikki varaukset ovat joka hetki saman suhteellisen etäisyyden päässä lopullisestasijoituspaikastaan, joten ϕ ′ (α; r) =αϕ(r), missä ϕ(r) on lopullinenpotentiaali pisteessä r. Tämän avulla α-integrointi on laskettavissa jaU = 1 ∫ρ(r)ϕ(r) dV + 1 ∫σ(r)ϕ(r) dS (4.10)2 V2 STässä tilavuuden V täytyy olla niin suuri, että se pitää sisällään kaikkiongelman varaukset.Jos koko (tarkasteltava) tila on eristettä, jonka permittiivisyys on ɛ,saadaan potentiaali laskemalla∫ϕ(r) =V1 ρ(r) ′ dV ′ ∫1 σ(r) ′ dS ′4πɛ |r − r ′ +| S 4πɛ |r − r ′ |(4.11)Jos taas systeemissä on useita erilaisia eristeitä, on huomioitava oikeat reunaehdotrajapinnoilla.Johdekappaleet on käytännöllistä käsitellä erikseen, sillä niiden varauson kokonaan pinnoilla S j ja johteen potentiaali on vakio:U = 1 2∫S jσϕ dS = 1 2 Q jϕ j (4.12)Varausjakautuman sähköstaattinen energia on kaiken kaikkiaanU = 1 ∫ρϕ dV + 1 ∫σϕ dS + 1 ∑Q j ϕ j (4.13)2 V 2 S 2missä viimeinen termi on summa yli kaikkien johdekappaleiden ja pintaintegraalion rajoitettu eristeiden pintoihin. Energian lausekkeen voi päätellämyös suoraan yleistämällä luvun 4.1 diskreettien varausjakautumien tuloksetjatkuville jakautumille.Huom. Koska johdekappaleen pinnalla on suuri määrä varauksia, eijohdekappaleita summattaessa kappaleen omaa osuutta (itseisenergiaa) voidajättää huomiotta, kuten tehtiin yksittäisten varausten tapauksessa edellisessäjaksossa. Pistevarausten itseisenergia voidaan jättää huomiotta makroskooppisissatarkasteluissa, mutta aikoinaan formuloitaessa kvanttitason elektrodynamiikkaatästä aiheutui ongelmia.j4.3 Sähköstaattisen kentän energiaEdelläoleva tarkastelu edellyttää potentiaalin tuntemista koko systeemissä.Usein tunnetaan kuitenkin tavalla tai toisella itse sähkökenttä ja halutaanmäärittää sen sähköstaattinen energia.