PDF (1 MB) - FMI

48 LUKU 4. SÄHKÖSTAATTINEN ENERGIAKolmannelle varaukselle( q1W 3 = q 3 + q )2(4.3)4πɛ 0 r 31 4πɛ 0 r 32ja niin edelleen kaikille N kappaleelle varauksia. Koko systeemin sähköstaattinenenergia U saadaan yhteenlaskulla⎛⎞N∑ N∑ j−1 ∑ qU = W j = ⎝ j q k ⎠ (4.4)4πɛ 0 r jkj=1j=1k=1Summaus voidaan järjestää uudelleen muotoonU = 1 (N∑ N)∑′ q j q k2 4πɛ 0 r jkj=1k=1(4.5)missä merkintä ∑′ merkitsee että termit j = k jätetään pois. Tämä voidaanilmaista varaukseen j vaikuttavien kaikkien muiden varausten potentiaalinavulla:ϕ j =N∑k=1′ q k4πɛ 0 r jk(4.6)U = 1 N∑q j ϕ j (4.7)2j=14.2 Varausjakautuman sähköstaattinen energiaTarkastellaan seuraavassa jatkuvia tilavuus- ja pintavarausjakautumia. Osanvarauksista oletetaan olevan johteiden pinnalla ja lisäksi systeemissä saa ollaeristeitä, mutta ne on oletettava lineaarisiksi. Syy tähän on, että epälineaarisillaeristeillä varaussysteemin kokoaminen riippuu tiestä, jota pitkin varauksettuodaan äärettömyydestä tarkastelualueeseen.Oletetaan, että olemme jo koonneet osan systeemistä. Tällöin uudenvarauselementin δq tuominen nollapotentiaalista systeemiin vaatii työnδW = ϕ ′ (r)δq (4.8)Kokonaistyö ei riipu tavasta, jolla varaukset tuodaan paikoilleen. Voimmeajatella, että kaikkia varauksia siirretään vuorotellen vähän kerrallaan, jamerkitään kullakin hetkellä osuutta koko matkasta α:lla. Mielivaltaisella hetkellävarausjakautumat ovat siis αρ(r)jaασ(r) ja siirrokset ovat δρ = ρ(r)dαja δσ = σ(r)dα. Lopullinen energia saadaan integroimalla∫ 1 ∫∫ 1 ∫U = dα ρ(r)ϕ ′ (α; r) dV + dα σ(r)ϕ ′ (α; r) dS (4.9)0 V0 S